Ex.2 - Curva regolare parametrizzata

[Seneca1]

Sia data la curva differenziabile parametrizzata $alpha(t) = ( t , e^t , e^(-t) )$.

Devo determinare il circolo osculatore nel punto $alpha(0) = ( 0 , 1 , 1 )$.

Ho pensato di fare nel seguente modo: per prima cosa calcolo la curvatura nel punto $alpha(0)$ , $k(0)$. Il raggio del circolo osculatore in $alpha(0)$ è $r(0) = 1/(k(0))$ (non ci sono problemi con una parametrizzazione non il lunghezza d'arco...?).

Allora il centro $C ( x , y , z )$ del circolo osculatore lo posso trovare imponendo (è una mia idea, potrebbe essere una cantonata spaziale):

$C - alpha(0) = r(0) n(0)$, dove $n(0)$ è il versore normale ad $alpha$ in $alpha(0)$.

E' corretto?

[Seneca1]

Ho risolto, grazie.

[gugo82]

"Seneca":Ho risolto, grazie.

Si potrebbe sapere come, o è un segreto di stato?

[Seneca1]

"gugo82":[quote="Seneca"]Ho risolto, grazie.

Si potrebbe sapere come, o è un segreto di stato? [/quote]

Non so se mi va di dirvelo.

Dalla relazione $C - alpha(0) = r(0) n(0)$ ($n(0)$ lo si ricava da $n = b ^^ T$) si trova $C$, il centro del cerchio osculatore.

A questo punto è semplice...

La circonferenza $gamma$ dovrebbe potersi scrivere come $gamma(theta) = C + r(0) sin(theta) T(0) + r(0) cos(theta) n(0)$, poiché è una circonferenza che giace nel piano affine di giacitura $$ passante per $alpha(0)$.

Secondo te va bene scritta così?