[EX] Un Teorema di Binet

[gugo82]

Un esercizio di Calcolo Matriciale.

Esercizio:

Siano \(A\in \mathbb{M}_{m\times n} (\mathbb{R})\) e \(B\in \mathbb{M}_{n\times m} (\mathbb{R})\), con \(m,n\in \mathbb{N}\).
Dimostrare che se \(m>n\) allora \(\det (A\cdot B)=0\).

[perplesso1]

è sufficiente ricordare le proprietà del rango
$r(AB) <= min{r(A),r(B)} <= n < m$
ma $AB$ è una matrice $m \times m$, quindi $det(AB) = 0$

[gugo82]

@ perplesso: Ok...

Ma come dimostri quella proprietà del rango (che, per inciso, non ricordavo)?

Inoltre, c'è un'altra dimostrazione che fa uso di due matrici a blocchi e che è abbastanza interessante.
Se non la trovate, la scrivo io.

[perplesso1]

"gugo82":Ma come dimostri quella proprietà del rango (che, per inciso, non ricordavo)?

Sernesi pag 71 proposizione 5.2 (non farmela scrivere per esteso, ci sono troppi apici e pedici, mi scoccio xD ) oppure anche qui.

[Lemniscata1]

Provo.

Indico con $\{e_i: i \in \{1,...,m\}\}$ la base canonica di $\mathbb{R}^m$.
Allora $\{Be_i: i \in \{1,...,m\}\}$ è un insieme di $m$ vettori di $\mathbb{R}^n$, ed essendo $m\gt n$ tale insieme sarà linearmente dipendente. Dunque esisteranno $\alpha_1, ... , \alpha_m \in \mathbb{R}$ non tutti nulli tali che $\sum_{i=1}^m \alpha_i Be_i=0$. Ma allora $A(\sum_{i=1}^m \alpha_i Be_i)=A(0)=0$, e si ha inoltre $A(\sum_{i=1}^m \alpha_i Be_i)=\sum_{i=1}^m A B(\alpha_ie_i)=AB(\sum_{i=1}^m \alpha_ie_i)$. Dunque $AB(\sum_{i=1}^m \alpha_ie_i)=0$, ma $\sum_{i=1}^m \alpha_ie_i\ne 0$ perché $\{e_i: i \in \{1,...,m\}\}$ è base. Dunque $AB$ non è invertibile non essendo iniettiva, da cui $\det(AB)=0.$