Ex: Superfici regolari

[Seneca1]

Esercizio:

a) Sia $S subset RR^3$ , $S = { (x,y,z) in RR^3 : x^2 + z^2 + x - y = 0 }$.
Si verifichi che $S$ è una superficie regolare.
b) Verificare che $P( 1 , 3 , 1) in S$ e trovare una carta locale regolare di $S$ nel punto $P$.

Svolgimento: a) Sia $f(x,y,z) = x^2 + z^2 + x - y$. Posso sperare che $0$ sia un valore regolare di $f$.

Devo verificare cioè che: $\grad f (x,y,z) != (0,0,0)$, $AA (x,y,z) in RR^3$ tale che $(x,y,z) in S$.

$\grad f (x,y,z) = ( 2 x + 1 , -1 , 2 z ) != (0,0,0)$, $AA (x,y,z) in RR^3$. Allora (per un teorema sulla regolarità delle superfici di livello di una funzione $f$ ) $S$ è una superficie regolare.

b) $(1, 3 , 1) in S$ è banale.

Fortunatamente la $f$ è abbastanza comoda. Credo di poterla parametrizzare così: $y = x^2 + z^2 + x$

$x(u,v) = u$
$y(u,v) = u^2 + v^2 + u$
$z(u,v) = v$

Ora viene il bello. Ho una mappa $phi(u,v) = (x(u,v), y(u,v) , z(u,v) )$ che è candidata ad essere una carta locale in $P(1,3,1)$ ( $phi(1,1) = (1,3,1)$ ), quella richiesta dalla consegna.

$phi$ a priori è definita su $RR^2$ che è un chiuso e invece vorrei fosse definita su un aperto $U$ del piano. Quindi devo trovare un aperto $U subseteq RR^2$ su cui definire $phi$ in modo tale che $phi(U)$ sia un intorno aperto di $P$ in $S$.

Come caspita faccio?
Grazie.

[Seneca1]

La mia idea in partenza era quella di scegliere come $U$ la palla aperta in $RR^2$ centrata in $(1,1)$ di raggio $r$ ( $< 1$, per esempio; tanto non credo influisca). Allora $phi : U -> S$.
Devo provare che $phi(U)$ è un intorno aperto di $P$ in $S$; in altre parole devo provare che $phi(U)$ si scrive come $V nn S$ ove $V subseteq RR^3$ è un aperto e $P in phi(U)$.

Non capisco però come inferire che $phi(U) = V nn S$ !

[dissonance]

Ma scusa non ho capito qual è il problema, Seneca. Hai trovato una parametrizzazione (*) definita su tutto \(\mathbb{R}^2\) e chiaramente \(\mathbb{R}^2\) è un sottoinsieme aperto di \(\mathbb{R}^2\). Meglio di così non può andare, no? Perché ti stai complicando la vita così?

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(*) Di solito una carta è una mappa da un aperto della varietà in un aperto euclideo. L'inversa di una carta si dice spesso parametrizzazione.

[Seneca1]

Nessun problema. Avevo fatto confusione: pensavo ad $RR^2$ come chiuso in $RR^3$. Ora mi torna tutto quello che hai scritto.

Comunque ho ancora due domande:

1) $S$ è regolare significa dimostrare che per ogni punto $P in S$, $EE phi : U -> S$ (differenziabile) tale che $phi(U)$ sia un intorno aperto di $P$ in $S$ (e questo mi sembra sia stato fatto anche se ho dei dubbi su quando si può dire che $phi(U)$ è un intorno aperto di $P$; non ho fatto topologia).

2) Per completare la verifica devo dimostrare che $Jacob_(u,v) (phi)$ ha rango $2$ $AA (u,v) in RR^2$ e che $phi$ è un omeomorfismo.

Lo Jacobiano è $((1,0),(2 u + 1, 2v),(0, 1))$ che ha rango $2$ (la prima e l'ultima riga sono linearmente indipendenti).

$phi$ è omeomorfismo: $phi$ è continua perché ciascuna delle componenti è una funzione continua. Come provo che $phi^(-1)$ è continua?

Ti ringrazio Dissonance.

[dissonance]

"Seneca":quando si può dire che $phi(U)$ è un intorno aperto di $P$

Quando \(\phi(U)\) è aperto e contiene \(P\).

$phi$ è omeomorfismo: $phi$ è continua perché ciascuna delle componenti è una funzione continua. Come provo che $phi^(-1)$ è continua?

Di solito in questi casi l'unica è trovare esplicitamente l'inversa, mediante ragionamenti di tipo geometrico.

(PS: Perdona questa risposta frettolosa, per favore!)

[Seneca1]

"dissonance":Di solito in questi casi l'unica è trovare esplicitamente l'inversa, mediante ragionamenti di tipo geometrico.

D'accordo. In questo caso l'inversa è semplice; posso scriverla come $phi^(-1) (x,y,z) = (x , z)$, che è la mappa $pi$ (una proiezione), la quale è continua. Posso dire una cosa del genere?

"dissonance":(PS: Perdona questa risposta frettolosa, per favore!)

Figurati... Anzi, ti ringrazio per avermi aiutato a chiarire qualche punto su cui ero indeciso.