[EX] - Sulle applicazioni lineari
C'è questo esercizio, probabilmente semplice, ma che non sono sicuro di aver svolto correttamente.
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) e sia \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},\dots,v_{3} \} \) una sua base.
(a) Si scrivano le matrici \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\phi) \) di tutte le applicazioni lineari \(\displaystyle \phi:V \to V \), soddisfacenti alle condizioni \[\displaystyle \phi(2v_{1} + v_{2})=2v_{1} - v_{2}, \qquad \phi(v_{1} +2v_{2} - v_{3})=v_{1} - v_{2} + v_{3}, \qquad \phi(v_{1} - v_{2} + v_{3})=v_{1} - v_{3} \]
Qui ho seguito un po' lo svolgimento di un esercizio simile già risolto in classe, ed ho notato che i tre vettori \(\displaystyle 2v_{1} + v_{2} \), \(\displaystyle v_{1} +2v_{2} - v_{3} \) e \(\displaystyle v_{1} - v_{2} + v_{3} \) sono linearmente dipendenti, quindi un'applicazione \(\displaystyle \phi \) può esistere soltanto se la medesima relazione di dipendenza sussiste anche tra le immagini. Ciò avviene, quindi esisteranno infinite applicazioni \(\displaystyle \phi \) perché una delle tre immagini (a scelta tra \(\displaystyle \phi(v_{1}) \), \(\displaystyle \phi(v_{2}) \) e \(\displaystyle \phi(v_{3}) \)) non è univocamente determinata - il sistema utilizzato per ricavare le immagini dei vettori di base ha infatti tre incognite ma due sole equazioni. Quindi ho posto \(\displaystyle \phi(v_{3})=av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \), e la matrice risulta essere, salvo conti ( - ma lasciateli perdere... Quello che mi interessa sono i ragionamenti che stanno alla base di tutta la baracca), \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\phi)=\frac{1}{3} \begin{pmatrix}3-a & 2a & 3a \\ -1-b & 2b-1 & 3b \\ -1-c & 1+c & 3b \end{pmatrix} \qquad [1]\]
(b) Siano \(\displaystyle \phi_{1} \) e \(\displaystyle \phi_{2} \) due applicazioni descritte nel punto (a). Si determini il nucleo di \(\displaystyle \phi_{2} - \phi_{1} \). Si dica poi se esistono \(\displaystyle \phi_{1} \) e \(\displaystyle \phi_{2} \) t.c. \(\displaystyle \phi_{2}(v_{1})=2v_{1} + 4v_{3} = 2\phi_{1}(v_{1}) \). In caso affermativo, si determini \(\displaystyle \text{im}(\phi_{2} - \phi_{1}) \).
Qui ho pensato, \[\displaystyle \phi_{2} - \phi_{1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix}3-a_{2} & 2a_{2} & 3a_{2} \\ -1-b_{2} & 2b_{2}-1 & 3b_{2} \\ -1-c_{2} & 1+c_{2} & 3b_{2} \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \begin{pmatrix}3-a_{1} & 2a_{1} & 3a_{1} \\ -1-b_{1} & 2b_{1}-1 & 3b_{1} \\ -1-c_{1} & 1+c_{1} & 3b_{1} \end{pmatrix}=\] \[\displaystyle =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} a_{1} - a_{2} & 2(a_{2} - a_{1}) & 3(a_{2} - a_{1}) \\ b_{1} - b_{2} & 2(b_{2} - b_{1}) & 3(b_{2} - b_{1}) \\ c_{1} - c_{2} & c_{2} - c_{1} & 3(c_{2} - c_{1}) \end{pmatrix}\]
da cui \(\displaystyle \text{ker}(\phi_{2} - \phi_{1})= \langle 3v_{1}+v_{3} \rangle \).
Per quanto riguarda invece la condizione sulle immagini tramite le due applicazioni di \(\displaystyle v_{1} \), è sufficiente che ponga la prima colonna della matrice \(\displaystyle [1] \) uguale all'immagine di \(\displaystyle v_{1} \) tramite \(\displaystyle \phi_{2} \), e quindi ricavi \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle c \)?
Finora lo svolgimento è corretto?
Ringrazio anticipatamente.
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) e sia \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},\dots,v_{3} \} \) una sua base.
(a) Si scrivano le matrici \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\phi) \) di tutte le applicazioni lineari \(\displaystyle \phi:V \to V \), soddisfacenti alle condizioni \[\displaystyle \phi(2v_{1} + v_{2})=2v_{1} - v_{2}, \qquad \phi(v_{1} +2v_{2} - v_{3})=v_{1} - v_{2} + v_{3}, \qquad \phi(v_{1} - v_{2} + v_{3})=v_{1} - v_{3} \]
Qui ho seguito un po' lo svolgimento di un esercizio simile già risolto in classe, ed ho notato che i tre vettori \(\displaystyle 2v_{1} + v_{2} \), \(\displaystyle v_{1} +2v_{2} - v_{3} \) e \(\displaystyle v_{1} - v_{2} + v_{3} \) sono linearmente dipendenti, quindi un'applicazione \(\displaystyle \phi \) può esistere soltanto se la medesima relazione di dipendenza sussiste anche tra le immagini. Ciò avviene, quindi esisteranno infinite applicazioni \(\displaystyle \phi \) perché una delle tre immagini (a scelta tra \(\displaystyle \phi(v_{1}) \), \(\displaystyle \phi(v_{2}) \) e \(\displaystyle \phi(v_{3}) \)) non è univocamente determinata - il sistema utilizzato per ricavare le immagini dei vettori di base ha infatti tre incognite ma due sole equazioni. Quindi ho posto \(\displaystyle \phi(v_{3})=av_{1} + bv_{2} + cv_{3} \), e la matrice risulta essere, salvo conti ( - ma lasciateli perdere... Quello che mi interessa sono i ragionamenti che stanno alla base di tutta la baracca), \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\phi)=\frac{1}{3} \begin{pmatrix}3-a & 2a & 3a \\ -1-b & 2b-1 & 3b \\ -1-c & 1+c & 3b \end{pmatrix} \qquad [1]\]
(b) Siano \(\displaystyle \phi_{1} \) e \(\displaystyle \phi_{2} \) due applicazioni descritte nel punto (a). Si determini il nucleo di \(\displaystyle \phi_{2} - \phi_{1} \). Si dica poi se esistono \(\displaystyle \phi_{1} \) e \(\displaystyle \phi_{2} \) t.c. \(\displaystyle \phi_{2}(v_{1})=2v_{1} + 4v_{3} = 2\phi_{1}(v_{1}) \). In caso affermativo, si determini \(\displaystyle \text{im}(\phi_{2} - \phi_{1}) \).
Qui ho pensato, \[\displaystyle \phi_{2} - \phi_{1}=\frac{1}{3} \begin{pmatrix}3-a_{2} & 2a_{2} & 3a_{2} \\ -1-b_{2} & 2b_{2}-1 & 3b_{2} \\ -1-c_{2} & 1+c_{2} & 3b_{2} \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \begin{pmatrix}3-a_{1} & 2a_{1} & 3a_{1} \\ -1-b_{1} & 2b_{1}-1 & 3b_{1} \\ -1-c_{1} & 1+c_{1} & 3b_{1} \end{pmatrix}=\] \[\displaystyle =\frac{1}{3} \begin{pmatrix} a_{1} - a_{2} & 2(a_{2} - a_{1}) & 3(a_{2} - a_{1}) \\ b_{1} - b_{2} & 2(b_{2} - b_{1}) & 3(b_{2} - b_{1}) \\ c_{1} - c_{2} & c_{2} - c_{1} & 3(c_{2} - c_{1}) \end{pmatrix}\]
da cui \(\displaystyle \text{ker}(\phi_{2} - \phi_{1})= \langle 3v_{1}+v_{3} \rangle \).
Per quanto riguarda invece la condizione sulle immagini tramite le due applicazioni di \(\displaystyle v_{1} \), è sufficiente che ponga la prima colonna della matrice \(\displaystyle [1] \) uguale all'immagine di \(\displaystyle v_{1} \) tramite \(\displaystyle \phi_{2} \), e quindi ricavi \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle c \)?
Finora lo svolgimento è corretto?
Ringrazio anticipatamente.
Risposte
A me pare tutto giusto. Quanto alla determinazione della matrice A, io avrei sostituito a ciascun vettore il corrispondente "vettore coordinato" ( ma probabilmente avrai fatto uguale ...). In tal modo il sistema delle immagini risulta essere:
\(\displaystyle \begin{cases}\phi(2,1,0)=(2,-1,0) \\ \phi(1,2,-1)=(1,-1,1)\\\phi(0,0,1)=(a,b,c)\end{cases} \)
Pertanto si ha :
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\-1 & -1 & b\\0 & 1 & c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\1 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\-1 & -1 & b\\0 & 1 & c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & 0 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \)
Da cui :
\(\displaystyle A=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 3-a&2a&3a\\-1-b&-1+2b&3b\\-1-c&2+2c&3c\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{cases}\phi(2,1,0)=(2,-1,0) \\ \phi(1,2,-1)=(1,-1,1)\\\phi(0,0,1)=(a,b,c)\end{cases} \)
Pertanto si ha :
\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\-1 & -1 & b\\0 & 1 & c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\1 & 2 & 0\\0 & -1 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\-1 & -1 & b\\0 & 1 & c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & 0 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \)
Da cui :
\(\displaystyle A=\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 3-a&2a&3a\\-1-b&-1+2b&3b\\-1-c&2+2c&3c\end{pmatrix}\)
Grazie per l'attenzione, vittorino. Quanto a
io pensavo di porre \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 - \frac{a}{3} \\ -\frac{1}{3} - \frac{b}{3} \\ -\frac{1}{3}-\frac{c}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]
(e similmente per \(\displaystyle \phi_{1} \)) per poi ricavare \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle c \) e quindi trovare le due matrici ed infine l'immagine richiesta...
Cosa ne pensi?
"Delirium":
[...] Si dica poi se esistono \(\displaystyle \phi_{1} \) e \(\displaystyle \phi_{2} \) t.c. \(\displaystyle \phi_{2}(v_{1})=2v_{1} + 4v_{3} = 2\phi_{1}(v_{1}) \). In caso affermativo, si determini \(\displaystyle \text{im}(\phi_{2} - \phi_{1}) \).
io pensavo di porre \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 - \frac{a}{3} \\ -\frac{1}{3} - \frac{b}{3} \\ -\frac{1}{3}-\frac{c}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]
(e similmente per \(\displaystyle \phi_{1} \)) per poi ricavare \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle c \) e quindi trovare le due matrici ed infine l'immagine richiesta...
Cosa ne pensi?
Penso che sia esatto. Lo pensavo anche quando ho scritto che mi pareva tutto giusto ... 
"vittorino70":
Penso che sia esatto. Lo pensavo anche quando ho scritto che mi pareva tutto giusto ...
Oook, ti ringrazio di nuovo.
La terza richiesta mi domanda se la matrice \(\displaystyle [1] \) è sempre invertibile (e se non lo è di fissare delle condizioni su \(\displaystyle \phi(v_{1} + v_{2} + v_{3}) \)). L'idea era quella di sporcarsi le mani con i conti e calcolare il determinante... Secondo te c'è una via più breve?
Al momento non vedo altra soluzione che far di conto. Magari ci studio un po' sopra : hai visto mai !
Mi è venuto in mente che calcolare il det di A non è difficile e non si deve operare sulla forma finale di A.
Per Binet risulta che :
\(\displaystyle det(A)=\frac{1}{3}\cdot det\begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\-1 & -1 & b\\0 & 1 & c\end{pmatrix} \cdot det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & 0 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\cdot (-a-2b-c)\cdot 9=-3(a+2b+c)\)
Quindi A è invertibile fin quando è \(\displaystyle a+2b+c \neq 0 \)
Non ho capito però la seconda parte della domanda :"e se non lo è (cioé se è \(\displaystyle a+2b+c=0 ) \) fissare delle condizioni su \(\displaystyle \phi(v_1+v_2+v_3) \) ". Mi domando: fissare delle condizioni , ma per fare cosa ? Manipolare \(\displaystyle \phi(v_1+v_2+v_3) \) per far diventare la A invertibile ? O che altro ?
Per Binet risulta che :
\(\displaystyle det(A)=\frac{1}{3}\cdot det\begin{pmatrix} 2 & 1 & a \\-1 & -1 & b\\0 & 1 & c\end{pmatrix} \cdot det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & 0 \\-1 & 2 & 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{3}\cdot (-a-2b-c)\cdot 9=-3(a+2b+c)\)
Quindi A è invertibile fin quando è \(\displaystyle a+2b+c \neq 0 \)
Non ho capito però la seconda parte della domanda :"e se non lo è (cioé se è \(\displaystyle a+2b+c=0 ) \) fissare delle condizioni su \(\displaystyle \phi(v_1+v_2+v_3) \) ". Mi domando: fissare delle condizioni , ma per fare cosa ? Manipolare \(\displaystyle \phi(v_1+v_2+v_3) \) per far diventare la A invertibile ? O che altro ?
Sono un tonto, mi son dimenticato di questo thread. Intanto ti ringrazio, vittorino70.
Poi appena ho un attimo di tempo riporto in alto per completare.
Poi appena ho un attimo di tempo riporto in alto per completare.
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