Ex su insiemi numerici come spazi vettoriali
Un esercizio chiede di dimostrare che le radici dei numeri primi sono linearmente indipendenti su Q.
Pensavo:
$q_1 sqrt(p_1) + ... + q_2 sqrt(p_2) +....= 0 $ , con $q_i\in Q$.
$ q_1= - q_2 sqrt(p_2/p_1) - ......$
Siccome i $p_i$ sono primi diversi tra loro, i loro rapporti non sono quadrati perfetti. Quindi, se i coefficienti $q_i$ non fossero tutti nulli, $q_1$ dovrebbe essere irrazionale. Ma non lo è: quindi q_i sono nulli e quindi le radici dei numeri primi indipendenti.
Solo che, da come è posto il quesito, credo che la soluzione "attesa" sia un'altra o una più completa.... Dove sbaglio o dove manca qualcosa?
p.s. forse perché io ho dimostrato l'indipendenza solo di un numero finito, per quanto grande a piacere, di vettori (le radici dei primi), mentre lì chiede l'indipendenza di tutte le radici (infinite), prese tutte insieme?
Pensavo:
$q_1 sqrt(p_1) + ... + q_2 sqrt(p_2) +....= 0 $ , con $q_i\in Q$.
$ q_1= - q_2 sqrt(p_2/p_1) - ......$
Siccome i $p_i$ sono primi diversi tra loro, i loro rapporti non sono quadrati perfetti. Quindi, se i coefficienti $q_i$ non fossero tutti nulli, $q_1$ dovrebbe essere irrazionale. Ma non lo è: quindi q_i sono nulli e quindi le radici dei numeri primi indipendenti.
Solo che, da come è posto il quesito, credo che la soluzione "attesa" sia un'altra o una più completa.... Dove sbaglio o dove manca qualcosa?
p.s. forse perché io ho dimostrato l'indipendenza solo di un numero finito, per quanto grande a piacere, di vettori (le radici dei primi), mentre lì chiede l'indipendenza di tutte le radici (infinite), prese tutte insieme?
Risposte
Non è detto che la somma di due irrazionali sia irrazionale. Esempio $\sqrt{2} - \sqrt{2} =0$. Quello che dici è vero, ma bisogna fare qualcosina di più per dire che la parte destra della tua uguaglianza è effettivamente irrazionale.
Idea: Induzione sul numero di termini non nulli nella sommetoria (che è finita). E una pioggia di quadrati.
Non avevo letto il PS. Quando si parla di proprietà algebriche, le somme (quasi) sempre sono finite. In questo caso oltretutto se si ammettono somme infinite il risultato non è più vero (nel senso che si trova una serie a coefficienti razionali con somma nulla, per quanto sia scomodo dire che la somma di una serie è nulla).
Idea: Induzione sul numero di termini non nulli nella sommetoria (che è finita). E una pioggia di quadrati.
Non avevo letto il PS. Quando si parla di proprietà algebriche, le somme (quasi) sempre sono finite. In questo caso oltretutto se si ammettono somme infinite il risultato non è più vero (nel senso che si trova una serie a coefficienti razionali con somma nulla, per quanto sia scomodo dire che la somma di una serie è nulla).
"Pappappero":
Non è detto che la somma di due irrazionali sia irrazionale. Esempio 2√−2√=0
Però nel nostro caso le radici sono rapporti di 2 primi, e il numero 1 (sotto radice: 2/1) non è primo. Chissà se è anche questa una delle ragioni per cui 1 non è considerato primo?
"Pappappero":
Quello che dici è vero, ma bisogna fare qualcosina di più per dire che la parte destra della tua uguaglianza è effettivamente irrazionale.
Hai ragione, bisogna giustificarlo... nel farlo però sono incappata in un fatto che credevo ovvio e che invece non riesco a dimostrare. Mi riferisco al fatto ognuno dei termini $sqrt(p_i/p_j)$ è irrazionale.
Supponiamo per assurdo $sqrt(p_i/p_j) = q = q_1 /q_2 $ con $q_1$ e $q_2$ coprimi.
Allora $q_i^2 p_1 = q_j^2 p_2$
E poi...? Mi sa che questa cosa c'è in tutti i libri di algebra: la recupero e poi proseguo...
Intanto grazie
Dimostrare che se $p_1, p_2$ sono primi distinti allora $\sqrt{p_1 / p_2}$ e' irrazionale dovrebbe essere facile. Facendo come hai fatto te otteniamo (ho solo buttato via le $i$ e le $j$ e ho chiamato i primi $p_1$ e $p_2$.
\[p_1 q_2^2 = p_2 q_1 ^2\]
Ora, $p_1$ e' primo, quindi deve apparire nella fattorizzazione di quello che c'e' a destra. Siccome $p_1$ e' diverso da $p_2$, significa che $p_1$ deve dividere $q_1^2$, e quindi $q_1$. Otteniamo che, per un certo $r_1$ si ha
\[
p_1 q_2^2 = p_1^2 r_1^2 p_2 .
\]
Semplificando $p_1$ si ottiene $ q_2^2 = p_1 r_1^2 p_2 $. Ma da qui lo stesso ragionamento ci porta a osservare che $p_1$ divide $q_2$, in contraddizione con il fatto che $q_1$ e $q_2$ sono coprimi.
A questo punto, basta un po' di induzione e un po' di voglia di fare quadrati. (In realta', per eliminare i quozienti, forse conviene fare induzione sulla prima sommatoria, prima di dividere per $\sqrt{p_1}$).
\[p_1 q_2^2 = p_2 q_1 ^2\]
Ora, $p_1$ e' primo, quindi deve apparire nella fattorizzazione di quello che c'e' a destra. Siccome $p_1$ e' diverso da $p_2$, significa che $p_1$ deve dividere $q_1^2$, e quindi $q_1$. Otteniamo che, per un certo $r_1$ si ha
\[
p_1 q_2^2 = p_1^2 r_1^2 p_2 .
\]
Semplificando $p_1$ si ottiene $ q_2^2 = p_1 r_1^2 p_2 $. Ma da qui lo stesso ragionamento ci porta a osservare che $p_1$ divide $q_2$, in contraddizione con il fatto che $q_1$ e $q_2$ sono coprimi.
A questo punto, basta un po' di induzione e un po' di voglia di fare quadrati. (In realta', per eliminare i quozienti, forse conviene fare induzione sulla prima sommatoria, prima di dividere per $\sqrt{p_1}$).
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