[Ex] Matrici invertibili

[WalterLewin90]

Salve pongo un quesito che non riesco a risolvere:

Si dimostri che per ogni matrice invertibile $A$ $in$ $M_d(R)$, la matrice $C=A^t$$A$ è simmetrica e definita positiva, ossia $XCX>0$ per ogni $X$ $in$ $R^d-0$

Inizio dicendo che essendo $A$ invertibile $det(A) != 0$ quindi anche $det(C)!=0$ quindi nessuno dei suoi autovalori può essere 0. Ma poi non riesco più a proseguire.

Qualcuno mi può illuminare, per favore?

Grazie mille.

[gugo82]

Provare che \(A^TA\) sia simmetrica è la prima cosa da fare.
Poi, per mostrare che \(x^TCx\) puoi usare la definizione di \(C\), le proprietà della trasposizione e un po' di conti.

[gugo82]

Beh, Sergio, io in realtà suggerivo un approccio ancora più basic.

Invero \(x^TCx=(Ax)^T(Ax)\) col secondo membro nonnegativo (è la somma dei quadrati delle coordinate di \(Ax\)) e nullo solo se \(Ax\) è nullo; ma \(A\) non è singolare, quindi...