[EX] Matrice invertibile a coefficienti in dominio
Ciao, amici! Si hanno $a_{11},...,a_{1n}\in A$, dove $A$ è un dominio principale, tali che \(\text{MCD}(a_{11},...,a_{1n})=1\). Dice il mio testo di algebra -ma scrivo qui perché si tratta di matrici: spero di non sbagliare sezione- che tale matrice può essere completata in una matrice, diciamo $M$, invertibile in $M_n(A)$.
Io ho subito visto che, dato che il loro massimo comun divisore è 1 e $A$ è un dominio principale, $a_{11},...,a_{1n}$ generano $A$ e quindi senz'altro esistono colonne di $M^{-1}$ che, moltiplicate per la riga \((a_{11}\quad ...\quad a_{1n})\), danno la prima riga \((1\quad 0\quad...\quad 0)\) della matrice $I_n$, ma non saprei come scegliere le altre righe della matrice $M$ perché con questa scelta di colonne di $M^{-1}$ si abbia $M M^{-1}=I_n$...
Qualcuno ha qualche idea?
$\infty$ grazie a tutti!
Io ho subito visto che, dato che il loro massimo comun divisore è 1 e $A$ è un dominio principale, $a_{11},...,a_{1n}$ generano $A$ e quindi senz'altro esistono colonne di $M^{-1}$ che, moltiplicate per la riga \((a_{11}\quad ...\quad a_{1n})\), danno la prima riga \((1\quad 0\quad...\quad 0)\) della matrice $I_n$, ma non saprei come scegliere le altre righe della matrice $M$ perché con questa scelta di colonne di $M^{-1}$ si abbia $M M^{-1}=I_n$...
Qualcuno ha qualche idea?
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
"DavideGenova":La sparo: il teorema di Bézout ti assicura l'esistenza di tale colonna!
...Io ho subito visto che, dato che il loro massimo comun divisore è 1 e $A$ è un dominio principale, $a_{11},...,a_{1n}$ generano $A$ e quindi senz'altro esistono colonne di $M^{-1}$ che, moltiplicate per la riga \((a_{11}\quad ...\quad a_{1n})\), danno la prima riga \((1\quad 0\quad...\quad 0)\) della matrice $I_n$, ma non saprei come scegliere le altre righe della matrice $M$ perché con questa scelta di colonne di $M^{-1}$ si abbia $M M^{-1}=I_n$...
$\infty$ grazie, Armando!!! Mmh... mi sa che allora siano necessari strumenti che non posseggo: ho studiato il teorema di Bézout solo per curve in \(\mathbf{P}^2(K)\) con $K$ sottocampo di $\mathbb{C}$, che, se sono rette, se non hanno infiniti punti in comune ne hanno solo uno, mentre qui avremmo $n-1$ dimensioni per lo spazio proiettivo e un generico dominio principale...
Io avevo pensato di fissare la prima colonna di $M^{-1}=(b_{ij})$ perché si abbia $b_{11}=1$ e la $k$-esima perché si abbia $b_{1k}=0$, per $k=2,...,n$, e tutto ciò è possibile perché l'ideale generato da $a_{11},...,a_{1n}$ è \((1)\), cioè tutto $A$, ma non mi riesce di vedere che righe di $M$ scegliere perché le colonne, che ho fissato, di $M^{-1}$, moltiplicate a sinistra per l'$i$-esima riga di $M$, diano una riga di zeri con un $1$ nell'$i$-esima colonna, ma non saprei come utilizzare il teorema di Bézout, neanche pensando ad un analogo con un dominio al posto del campo $K$...
Io avevo pensato di fissare la prima colonna di $M^{-1}=(b_{ij})$ perché si abbia $b_{11}=1$ e la $k$-esima perché si abbia $b_{1k}=0$, per $k=2,...,n$, e tutto ciò è possibile perché l'ideale generato da $a_{11},...,a_{1n}$ è \((1)\), cioè tutto $A$, ma non mi riesce di vedere che righe di $M$ scegliere perché le colonne, che ho fissato, di $M^{-1}$, moltiplicate a sinistra per l'$i$-esima riga di $M$, diano una riga di zeri con un $1$ nell'$i$-esima colonna, ma non saprei come utilizzare il teorema di Bézout, neanche pensando ad un analogo con un dominio al posto del campo $K$...
Credo che il Teorema di Bezout di cui parla j18eos sia semplicemente il fatto che se $a_1 ... a_n$ hanno $MCD = 1$ allora $1$ si scrive come combinazione di $a_1 ...a_n$, che è un po' quello che stavi facendo. Tuttavia per parlare di MCD serve almeno la fattorizzazione unica, o sbaglio?
Nel tuo problema, io cercherei di usare questo fatto per determinare una matrice la cui prima riga è $A$ e tale che il determinante è $1$. Costruire la matrice usando l'inversa mi sembra più complicato. Ho idea che si debba usare qualche formula magica che dà i combinatori da usare su $a_1 ...a_n$ e usare quella formula per far uscire uscire in qualche modo i combinatori dai minori della matrice senza la prima riga.
Nel tuo problema, io cercherei di usare questo fatto per determinare una matrice la cui prima riga è $A$ e tale che il determinante è $1$. Costruire la matrice usando l'inversa mi sembra più complicato. Ho idea che si debba usare qualche formula magica che dà i combinatori da usare su $a_1 ...a_n$ e usare quella formula per far uscire uscire in qualche modo i combinatori dai minori della matrice senza la prima riga.
@Tutt'e2
Esatto Pappappero!
Esatto Pappappero!
Il Bosch (p. 44 qui) definisce il massimo comun divisore per qualunque dominio d'integrità, ma qua $A$ è fattoriale perché dominio principale.
Ancora $\infty$ grazie a tutti e due (anche per le risposte sull'annichilatore "di là" )!!!
Ancora $\infty$ grazie a tutti e due (anche per le risposte sull'annichilatore "di là"
)!!!
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