[EX] - Due fatterelli sulla connessione

[Sk_Anonymous]

Ho provato a dare una dimostrazione dei seguenti due fatti:

1. \(X\) spazio è sconnesso sse \(\exists \, A,B \subseteq X\) con \(X= A \cup B\) t.c. \(\overline{A} \cap B= \varnothing = A \cap \overline{B}\).

Proof.
\((\Longrightarrow)\) è banale: infatti se \(X\) è sconnesso \(\exists \, U \subset X\) chiuso-aperto non banale; il suo complementare sarà anch'esso un chiuso-aperto, e quindi si conclude che \(X= U \sqcup (X \setminus U)\) - ah, con \(\sqcup\) indico l'unione disgiunta.
\((\Longleftarrow)\) mi è sembrata un attimino più ostica: nelle ipotesi date, voglio provare che (1) \(A \cap B = \varnothing \) e che (2) \(A\) e \(B\) sono chiusi-aperti. Dunque: (1) discende dall'ipotesi, giacché \(A \cap B \subseteq \overline{A} \cap B = \varnothing\), mentre per (2) ho osservato che \[X \setminus (\overline{A} \cap B)= (X \setminus A) \cup (X \setminus \overline{B}) = X \] da cui ricavo che \[X \setminus A = X \setminus ( X \setminus \overline{B}) \]
Siccome la chiusura di \(B\) è un chiuso, \(X \setminus \overline{B}\) è un aperto e quindi \(X \setminus A\) è un chiuso; da \((X \setminus A) \cup A = X\) discende che \(A\) è un aperto. Stessa cosa posso dire di \(B\) se parto da \(X \setminus ( \overline{A} \cap B)\). Sapendo ora che \(A\) e \(B\) sono (almeno) aperti, analizzo \(X \setminus ( A \cap B) = X\) con simili ragionamenti e scopro che \(A\) e \(B\) sono anche chiusi. Donde la tesi.

2. Immagine continua di connessi è connessa, cioè se \(X,Y\) spazi topologici, \(f:X \to Y\) funzione continua e \(X\) connesso, allora \(f(X)\) è connessa.

Proof.
Provo la contronominale: se \(f(X)\) è sconnessa, posso trovare due chiusi-aperti \(U,V \subset f(X)\) con \(U \sqcup V = f(X)\). Si ha che \(f^{\leftarrow}(U)\) e \(f^{\leftarrow}(V)\) sono entrambi chiusi-aperti (controimmagine continua di aperti e chiusi) con \(f^{\leftarrow}(U) \ne \varnothing\), \(f^{\leftarrow}(V) \ne \varnothing\) e \(f^{\leftarrow}(U) \cap f^{\leftarrow}(V) = \varnothing\) (perché \(U\) e \(V\) sono disgiunti). Quindi in \(X\) c'è almeno un chiuso-aperto non banale.

Io credo di essere stato parecchio prolisso nel provare la seconda implicazione di 1.
Per il resto...?

Ringrazio.

[Maci86]

Prova così:
$A sube barA=> Ann B sube bar A nnB=emptyset $
$B sube barB=> Bnn A sube bar B nnA=emptyset $
$A nn B= emptyset$

[Sk_Anonymous]

"Maci86":Prova così:
$A sube barA=> Ann B sube bar A nnB=emptyset $
$B sube barB=> Bnn A sube bar B nnA=emptyset $
$A nn B= emptyset$

Non capisco cosa mi stai suggerendo, perché avevo già scritto che

"Delirium":Dunque: (1) discende dall'ipotesi, giacché \(A \cap B \subseteq \overline{A} \cap B = \varnothing\) [...]

La parte "lunga" è per provare che \(A\) e \(B\) sono sia chiusi che aperti (in realtà è poi solo un esercizietto sulle proprietà delle operazioni tra insiemi...)
Ti sembra funzionare?

Grazie.

Edit. Ok, sono un salame. Una volta arrivato a dire che \(A\) e \(B\) sono aperti ho finito, perché per ipotesi \(X=A \cup B\) e ho mostrato che \(A \cap B = \varnothing\). Quindi potevo concludere molto prima, come sospettavo.