Ex - Curvatura gaussiana di una superficie

Seneca1
Buonasera...

Sia data la superficie (regolare) $S$ di $RR^3$ con la seguente parametrizzazione $phi(u,v) = (u , v , uv^3)$. Calcolare la curvatura gaussiana $K$ in ogni suo punto; determinare inoltre i punti in cui $K = 0$ e verificare che l'origine è un punto planare.


Per prima cosa bisogna determinare la matrice dell'operatore forma nel punto $phi(u_0 , v_0) = P$, cioè $- d_P N$ ( "meno" il differenziale della mappa di Gauss ) rispetto alle basi $phi_u , phi_v$ dello spazio tangente ad $S$ in $P$... Ottengo:

$1/(sqrt(...)) * ((0, 3v^2),(3 v^2 , 6 u v ))$

A questo punto, il determinante è $- 6 v^2$. La curvatura gaussiana è nulla nei punti in cui almeno una delle due curvature principali $k_1 , k_2$ sia nulla e ciò si verifica per $v = 0$. Quindi $K(u,0) = 0$ , $AA u in RR$.

Per verificare che l'origine sia un punto planare bisogna verificare che $k_1$ e $k_2$ siano entrambe nulle in $(0,0,0) = phi (0,0)$. Ma a questo punto non so come procedere... Per ogni punto in cui si annulla $K$ (anche $(0,0)$) la matrice dell'operatore forma è la matrice nulla. Mi verrebbe da dire che sono tutti punti planari, ma non mi suona affatto bene...

Cosa dite?

Grazie dell'attenzione...

Risposte
Seneca1
In effetti, li mortacci, ho sbagliato il testo... La superficie sarebbe stata $phi (u,v) = ( u , v , u v^2 )$.

In ogni caso è corretto lo svolgimento dell'esercizio "modificato"? :smt012

Seneca1
Per vedere la differenza tra le due superifici che ho considerato, ho plottato il sottoinsieme $S$ di $RR^3$ di entrambe; cercando di visualizzare il "comportamento planare" di $phi(u,v) = ( u , v , u v^3)$ (1) e di $phi(u,v) = ( u , v , u v^2)$ (2) ho ottenuto:

(1):



(2):




Effettivamente sembra proprio che nella (1) i punti (della superficie) del tipo $phi(u,0) = ( u , 0 , 0)$ (cioè una retta) siano punti planari. Mentre nel (2) sembra che solo l'origine sia planare. Secondo voi è un'anomalia del software, oppure è la prova del nove di ciò che viene fuori facendo i calcoli?

katmandu1
facendo i calcoli con la prima e seconda forma fondamentale il risultato è che
\[
K_g = \frac{-4 v^2}{(1 + 4 u^2 v^2 + v^4)^2}
\]
E quindi è sempre non positiva e si annulla $ \forall (u,v) \mbox{ tale che } v=0 $, ovvero per la retta di equazione parametrica $(u,0,0)$

La retta rossa individua i punti con curvatura nulla

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