Evoluta ed evolvente

[Pigreco2016]

Ho questo dubbio: ho una curva P parametrizzata con l'ascissa curvilinea, ne faccio l'evoluta (da quanto è capito è il luogo geometrico dei centri di curvatura della curva P) e poi faccio l'evolvente dell'evoluta. "Logicamente" dovrei ottenere la curva P di partenza. Successivamente penso all'evoluta di una circonferenza ( è un punto), però l'evolvente di un punto mica è una circonferenza. Cosa vi è di sbagliato nel mio ragionamento? Magari ci sono condizioni da rispettare per fare in modo che l'evolvente di una evoluta di una curva sia uguale alla curva stessa?

[dissonance]

Non conosco nessuna di queste definizioni, ma a naso sembra proprio che la circonferenza sia un caso degenere.

[j18eos]

No, attenzione: data una curva differenziabile[nota]Esagero, ma dovrebbe essere sufficiente una curva regolare di classe \(\displaystyle C^2\).[/nota], si può costruire la sua evoluta; "per tornare indietro", bisognerebbe costruire un'opportuna involuta dell'evoluta, la quale è un'altra cosa.

[Pigreco2016]

Cosa intendi con "opportuna involuta dell'evoluta"? Mi sembra che abbiamo detto entrambi la stessa cosa. Sono d'accordo pure io per quanto riguarda il fatto di considerare almeno curve di classe $C^2$. Senza il campo di vettori normale alla curva non si potrebbe costruire neanche l'evoluta.

[j18eos]

Ho inserito dei links di proposito!

[Pigreco2016]

Sicuramente quando dici "per un'opportuna evolvente (ovvero involuta) dell'evoluta" intendi dire che l'evolvente è definita a meno di una costante. Quindi per trovare la curva stessa bisogna trovare anche il valore adatto del parametro. Intendi dire questo?

[j18eos]

Assolutamente no!

Se tu aprissi il primo link, vedresti che l'evoluta di un'ellisse è una curva con quattro punti singolari, chiamata asteroide!

...quindi non avrebbe senso calcolare l'evoluta o l'evolvente dell'asteroide!, dato che ci sono quattro punti in cui non riesci a calcolare il cerchio osculatore...

Aprendo il secondo link, ti accorgeresti che l'involuta è un'altra cosa, e non è un sinonimo di evoluta o evolvente.

[Pigreco2016]

Guarda che ho dato uno sguardo ai link. Non puoi pretendere che io capisca al volo quello che vuoi dire tu facendo riferimento ai link. E comunque io per involuta ed evolvente intendo la stessa cosa, mentre per evoluta intendo il luogo dei centri di curvatura di una curva.

[j18eos]

T'ho risposto come una checca isterica: scusami! [ot]Purtroppo dire "gay isterico" non ha lo stesso pathos, con tutto che sono in preda a una crisi isterica causata dal brutto tempo di fuori, e non avere nulla da fare in casa... gay lo sono da sempre e sempre lo sarò! [/ot]Il punto è che non puoi sempre fare l'evoluta dell'evoluta, dato che l'evoluta può non essere regolare (e.g.: l'evoluta di un'ellisse è un'asteroide).

[Pigreco2016]

Forse mi sono spiegato male io. A me non interessa fare l'evoluta di una curva e poi fare l'evoluta dell'evoluta dela curva. Fino a qua lo avevo capito che non è questo il modo corretto per "tornare indietro". A me interessa fare l'evoluta di una curva, e poi calcolare l'evolvente dell'evoluta della curva e sperare di ritrovare la curva di partenza (è quello che mi hai detto nel tuo primo messaggio)

[j18eos]

Ora ci siamo capìti; ma non posso scrivere più di quanto t'ho scritto, dato che non so altro...

Ad esempio, se prendi un punto e costruisci una sua evolvente: ottieni il cerchio!