Euclide - Proposizione 1

[volare2]

Sto leggendo “La congettura di Poincarè” di Donald O’Shea, edizione Rizzoli 2007. In uno dei capitoli introduttivi parla della geometria di Euclide e del “rigore” degli “Elementi” per spiegare che la proposizione 1, sulla costruzione con riga e compasso di un triangolo equilatero, usa tacitamente proprietà aggiuntive oltre le definizioni e gli assiomi. Dopo la celeberrima e facile dimostrazione l’autore aggiunge quanto segue:

Bene. Ma quale postulato o proprietà afferma che i cerchi che hanno per centro gli estremi del segmento AB si debbano necessariamente intersecare? Ciò non segue né dai postulati, né dalle definizioni e si tratta di una evidente lacuna, notata fin quasi dall’inizio e menzionata in molti commentari.

Non riesco a ben intendere la spiegazione della lacuna data dall’autore che parla di “assioma d’ordine”. Sono alla ricerca di giustificazioni della lacuna espresse in altro modo. Grazie.

[dissonance]

Se ho capito bene la storia è questa:
[asvg]xmin=-1; xmax=2; ymin=-1; ymax=2;axes();stroke="red";
line([0,0], [1,0]); stroke="black"; circle([0,0], 1); circle([1, 0], 1);[/asvg]
Il segmento rosso è $AB$, le circonferenze nere sono centrate nei due estremi e hanno per raggio la lunghezza di $AB$. Quale degli assiomi di Euclide ci dice che si intersecano?

E' questo il problema?

[volare2]

Esatto. La questione è quella disegnata da dissonance.

[ciampax]

E' una questione relativa alle proprietà dei triangoli: consideriamo le due circonferenze di centri $A$ e $B$ rispettivamente. Prendi un punto $P$ sulla circonferenza centrata in $B$. Allora, se $r$ è il raggio delle circonferenze, hai

$AB=r,\qquad BP=r,\qquad AP=d$

Ora per le proprietà sui lati dei triangoli sai che la somma di due lati è maggiore del terzo e che la differenza di due lati è minore del terzo. Per il triangolo $ABP$ hai ovviamente

$AB+BP=2r>d=AP$, $AB-BP=0
Quindi la misura di $d$ è compresa nell'intervallo $(0,2r)$. A questo punto basta riflettere in questo modo: è possibile che $d=r$? Certo che sì, per il ragionamento precedente. Ma se $d=r$, allora abbiamo che non solo P sta sulla circonferenza centrata in $B$ ma anche su quella centrata in $A$, essendo $AP=d=r$. Il fatto che ci sia poi un secondo punto è una questione di simmetrie o similitudini, a seconda di come preferisci guardare le cose.

Spero che ti soddisfi come risposta (anche se non svolto passo passo)... e credo comunque che si possa dimostrare questo fatto in altri 2000 modi!

[adaBTTLS1]

Euclide definisce sia il cerchio, sia il triangolo equilatero. nel terzo postulato dice esplicitamente che è possibile costruire un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio. non dice esplicitamente che si possa costruire un triangolo equilatero con qualsiasi segmento preso come lato: dando per buona questa cosa, sarebbe semplice, perché i due vertici di due triangoli equilateri verificano la proprietà di appartenere alle due circonferenze.
un percorso più tortuoso sarebbe quello di far intervenire l'asse del segmento: gli stessi due punti, ricavando per altra via quale distanza devono avere dal punto medio del segmento, sono le intersezioni tra l'asse del segmento e la circonferenza, con centro nel punto medio del segmento, e raggio ... purtroppo incommensurabile con la lunghezza del segmento stesso...

[volare2]

ripropongo il quesito nella forma iniziale e bene illustrato da dissonance. L'autore Donald O'Shea rimanda ad una nota di piè pagina che riferisce quanto segue: più di due millenni dopo riscrivendo l'opera di Euclide, il grande matematico di Gottinga David Hilbert aggiunse alcuni "assiomi d'ordine" proprio per porre rimedio a lacune come questa. (del triangolo equilatero dove in base a definizioni e assiomi non è scontato che le due circoferenze si intersechino).

E' qui la mia domanda: sto facendo lo stesso errore di Euclide e non vedo quanto hanno visto Hilbrt e altri. Cerco lumi e spiegazioni.

[dissonance]

La risposta alla tua domanda è nel post di adaBTTLS. Lei parla giustamente di "lunghezze incommensurabili" che (e qui parlo in maniera assolutamente naif, non sono un conoscitore della questione ) creano problemi alla geometria euclidea classica nella stessa misura in cui il numero $sqrt(2)$ crea problemi ai numeri razionali.

E' noto che, se ci limitassimo ai soli numeri razionali, avremmo nel nostro sistema numerico dei veri e propri "buchi" come il citato $sqrt(2)$. Questo problema algebrico si risolve completando i numeri razionali nei numeri reali, costruzione basata sull'ordinamento dei numeri razionali: dati due razionali $p, q$, siamo sempre in grado di dire quale dei due sia il più grande (ordine totale). Lavorando su questa proprietà introduciamo un sistema numerico, quello dei numeri reali, che colma questi "buchi".

Il problema algebrico di sopra è concettualmente lo stesso di tutta una gamma di problemi geometrici, di cui il più semplice è la diagonale del quadrato: se non è commensurabile con il suo lato, vuol dire che non esiste? Chiaramente essa esiste, ma allora che lunghezza dovrebbe avere? Qui si vede bene l'analogia tra la visione algebrica e quella geometrica.

Questi problemi geometrici, ad una analisi particolarmente rozza, si riassumono nel fatto che la geometria euclidea si lascia dietro gli stessi "buchi" che abbiamo rinvenuto prima nei numeri razionali. (Uno di questi "buchi" sarà questo problema delle circonferenze). Per colmare questi "buchi" dobbiamo necessariamente fare qualcosa di analogo alla costruzione dei numeri reali [size=75](*)[/size]: ma questa costruzione dipende fortemente, come sottolineato prima, dall'ordinamento dei numeri razionali. Ecco allora che ci serve qualche assioma di ordine.

Spero di aver almeno centrato grossolanamente il problema... Mi ricordo, se può servire, di aver letto qualcosa a questo riguardo sul classico Che cos'è la matematica di Courant e Robbins.


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(*) Oppure, con il metodo della geometria analitica, trattare gli spazi geometrici come insiemi di numeri (il concetto è quello degli "assi cartesiani": ogni punto del piano è individuato da una coppia di numeri reali $(x, y)$). Così facendo, però, non facciamo altro che passare la patata bollente dalla geometria all'algebra.

[G.D.5]

"ciampax":E' una questione relativa alle proprietà dei triangoli: consideriamo le due circonferenze di centri $A$ e $B$ rispettivamente. Prendi un punto $P$ sulla circonferenza centrata in $B$. Allora, se $r$ è il raggio delle circonferenze, hai

$AB=r,\qquad BP=r,\qquad AP=d$

Ora per le proprietà sui lati dei triangoli sai che la somma di due lati è maggiore del terzo e che la differenza di due lati è minore del terzo. Per il triangolo $ABP$ hai ovviamente

$AB+BP=2r>d=AP$, $AB-BP=0
Quindi la misura di $d$ è compresa nell'intervallo $(0,2r)$. A questo punto basta riflettere in questo modo: è possibile che $d=r$? Certo che sì, per il ragionamento precedente. Ma se $d=r$, allora abbiamo che non solo P sta sulla circonferenza centrata in $B$ ma anche su quella centrata in $A$, essendo $AP=d=r$. Il fatto che ci sia poi un secondo punto è una questione di simmetrie o similitudini, a seconda di come preferisci guardare le cose.

Spero che ti soddisfi come risposta (anche se non svolto passo passo)... e credo comunque che si possa dimostrare questo fatto in altri 2000 modi!

Però a mio avviso tu hai provato che possono interscarsi, non che devono intersecarsi.

[ciampax]

"WiZaRd":[quote="ciampax"]E' una questione relativa alle proprietà dei triangoli: consideriamo le due circonferenze di centri $A$ e $B$ rispettivamente. Prendi un punto $P$ sulla circonferenza centrata in $B$. Allora, se $r$ è il raggio delle circonferenze, hai

$AB=r,\qquad BP=r,\qquad AP=d$

Ora per le proprietà sui lati dei triangoli sai che la somma di due lati è maggiore del terzo e che la differenza di due lati è minore del terzo. Per il triangolo $ABP$ hai ovviamente

$AB+BP=2r>d=AP$, $AB-BP=0
Quindi la misura di $d$ è compresa nell'intervallo $(0,2r)$. A questo punto basta riflettere in questo modo: è possibile che $d=r$? Certo che sì, per il ragionamento precedente. Ma se $d=r$, allora abbiamo che non solo P sta sulla circonferenza centrata in $B$ ma anche su quella centrata in $A$, essendo $AP=d=r$. Il fatto che ci sia poi un secondo punto è una questione di simmetrie o similitudini, a seconda di come preferisci guardare le cose.

Spero che ti soddisfi come risposta (anche se non svolto passo passo)... e credo comunque che si possa dimostrare questo fatto in altri 2000 modi!

Però a mio avviso tu hai provato che possono interscarsi, non che devono intersecarsi.[/quote]


Effettivamente...