Estremi liberi in R^2
Devo studiare gli estremi liberi della seguente funzione:
$f(x,y)=x^2(x-y)$
Studiando il gradiente, si annulla in tutti i punti $(0,y)$
Studio la matrice hessiana:
Hessina:
$(6x-2y,-2x)$
$(-2x , 0)$
$detH=4x^2$
per x=0 il determinante si annulla e per y>0 è semidefinita negativa, per y<0 semidefinita positiva.
Come faccio a determinare se sono max, min,di sella, o altro?
$f(x,y)=x^2(x-y)$
Studiando il gradiente, si annulla in tutti i punti $(0,y)$
Studio la matrice hessiana:
Hessina:
$(6x-2y,-2x)$
$(-2x , 0)$
$detH=4x^2$
per x=0 il determinante si annulla e per y>0 è semidefinita negativa, per y<0 semidefinita positiva.
Come faccio a determinare se sono max, min,di sella, o altro?
Risposte
Dato che il gradiente si annulla in $(0,y)$, l'hessiana, calcolata in questi punti, vale:
$((-2y,0),(0,0))$
Un autovalore è $\lambda=0$, dato che la matrice è singolare non si hanno informazioni dall'hessiana.
Usiamo allora la definizione, cioè $(x_0,y_0)$ un un punto di massimo se e solo se $f(x_0,y_0) \ge f(x,y)$ per tutte le coppie $(x,y)$ appartenenenti ad un intorno di $(x_0, y_0)$.
In questo caso $(x_0, y_0)=(0,y)$, quindi si ottiene:
$0 \ge x^2(x-y)$ che equivale a $x \le y$
I punti singolari sono sulla retta $x=0$:
Quindi $(0,0)$ è una sella, perché nell'intorno di questo punto la funzione assume valori maggiori e minori di $f(0,0)$; $(0,y)$ per $y>0$ sono punti di minimo, perché in un intorno di questi $f(0,y)$ si mantiene maggiore di $f(x,y)$; stessa zolfa per $(0,y)$ per $y<0$, che sono minimi.
$((-2y,0),(0,0))$
Un autovalore è $\lambda=0$, dato che la matrice è singolare non si hanno informazioni dall'hessiana.
Usiamo allora la definizione, cioè $(x_0,y_0)$ un un punto di massimo se e solo se $f(x_0,y_0) \ge f(x,y)$ per tutte le coppie $(x,y)$ appartenenenti ad un intorno di $(x_0, y_0)$.
In questo caso $(x_0, y_0)=(0,y)$, quindi si ottiene:
$0 \ge x^2(x-y)$ che equivale a $x \le y$
I punti singolari sono sulla retta $x=0$:
Quindi $(0,0)$ è una sella, perché nell'intorno di questo punto la funzione assume valori maggiori e minori di $f(0,0)$; $(0,y)$ per $y>0$ sono punti di minimo, perché in un intorno di questi $f(0,y)$ si mantiene maggiore di $f(x,y)$; stessa zolfa per $(0,y)$ per $y<0$, che sono minimi.
"-Veon-":
Devo studiare gli estremi liberi della seguente funzione:
$f(x,y)=x^2(x-y)$
Studiando il gradiente, si annulla in tutti i punti $(0,y)$
Studio la matrice hessiana:
Hessina:
$(6x-2y,-2x)$
$(-2x , 0)$
$detH=4x^2$
per x=0 il determinante si annulla e per y>0 è semidefinita negativa, per y<0 semidefinita positiva.
Come faccio a determinare se sono max, min,di sella, o altro?
Con l'hessiano nullo devi divertirti a studiare euristicamente l'intorno di (0,y)...
Se nei punti in un intorno arbitrario la funzione ha sempre lo stesso segno, potrai vedere se è minore o maggiore di quella calcolata nel punto, allora rispettivamente avrai un massimo o un minimo...
Se trovi segni diversi nell'intorno, per quanto lo scelga piccolo, allora hai davanti un punto di sella...
Auguri...
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