Estrazione e completamento ad una base.

[rlaura91]

Dati gli elementi sotto descritti di Z^n dire se sono linearmente indipendenti, se generano Z^n, se sono base di Z^n. Nel caso in cui non siano una base, completare ad una base o estrarre da essi una base nei casi in cui è possibile.
a) n=2, x1=(2,4), x2=(-2,1)
b) n= 2, x1= (2,4), x2=(-2,1), x3=(1,1)
c) n=3, x1=(1,2,3), x2=(0,2,2), x3= (1,0,1)
d) n=3, x1=(1,2,3), x2=(0,2,2), x3=(1,1,1)

Io ho fatto così:

a) (2,4)n+(-2,1)m=0 --> $ { (2n-2m=0 ),(4n+m=0 ):} $ --> $ { (n=m),(5m=0 ):} $ --> n=m=0

--> sono linearmente indipendenti!

(2,4)n+(-2,1)m=(a,b) --> $ { (2n-2m=a ),(4n+m=b):} $ --> $ { (n=(2m+a)/2 ),(4n+m=b):} $ non generano Z^2 --> non costituiscono una base.
ora come faccio a completare o estrarre una base? mi potete spiegare il procedimento, anche con altri esempi? grazie!

[matteotex1]

Attento, i vettori x1 e x2 generano Z^2 e ne sono una base, infatti se risolvi il sistema, ottieni che m=a/10+b/5 e n=4b/5-a/10,
quindi per ogni vettore (a,b) di Z^2 esistono coefficenti m,n tali che (a,b)=mx1+nx2.

[rlaura91]

Scusa ma...siamo in Z, le frazioni non esistono! E risolvendo il sistema non verrebbero numeri interi...o sbaglio ragionamento?

[matteotex1]

giustissima osservazione...troppa abitudine a lavorare in R...