Estensione su \(B^{2}\)

[5mrkv]

C'è una cosa nel libro che non riesco a capire. Provo a riscrivere un lemma:

Se \(h:S^{1}\rightarrow X\) è continua e omotopicamete nulla allora possiamo estenderla ad una applicazione continua \(k:B^{2}\rightarrow X\). Sia \(H:S^{1}\times I\rightarrow X\) l'omotopia tale che \(H(S^{1}\times 1)=x \in X\). Consideriamo \(\pi:S^{1}\times I\rightarrow B^{2}\) definita come \(y=(1-t)x\). La sua inversa è \(x=y(1-t)^{-1}\) quindi l'applicazione è iniettiva e suriettiva. Inoltre è chiusa e continua perciò \(U\) è aperto in \(B^{2}\) se e solo se \(\pi^{-1}(U)\) lo è in \(S^{1}\times I\). Quindi se
\[
\begin{split}
O \in \tau_{S^{1}\times I}
&\Rightarrow O=f^{-1}(A) \\
&\Rightarrow A \in \tau_{B^{2}} \mbox{ e } A=g^{-1}(O)\\
&\Rightarrow g^{-1}(O)\in \tau_{B^{2}}
\end{split}
\]
per un qualche \(A\subset B^{2}\) perciò \(\pi^{-1}\) è continua. Ora, anche \(H\) è continua e la composizione \(k=H\circ\pi^{-1}\) è l'applicazione cercata.

Perché dovrei usare il fatto che \(f\) è omotopicamente nulla? Edit: vedo che in realtà non \(\pi\) non può essere iniettiva perché \(\pi(S^{1}\times 1)=0\). Il libro dice anche che \(\pi\) è una mappa quoziente. Comunque, non vedo come fare tornare il tutto.

[5mrkv]

Forse è meglio che riporti cosa c'è scritto sul libro.

Let \(H:S^{1}\times I\) be a homotopy between \(h\) and a constant map. Let \(\pi:S^{1}\times I\rightarrow B^{2}\) be the map \(\pi(s,t)=(1-t)x\). It is continuous, closed and surjective, so it is a quotient map; It collapses \(S^{1}\times I\) to the point \(0\) and is otherwise injective.

Come fa ad essere iniettiva se l'immagine di un insieme è un punto di \(B^{2}\)? Edit: A quanto pare otherwise injective significa che è iniettiva a meno dell'origine. Comunque sia non riesco ancora a costruire una funzione \(k\) ben definita.

[5mrkv]

Segue dal teorema 22.2. chap. 2 che avevo dimenticato di studiare.