Estensione applicazioni continue su spazi di Hausdorff

[bestiedda2]

sia[tex]f:A \subset X \rightarrow Y[/tex] un'applicazione continua che si estende alla chiusura di[tex]A[/tex]. Si dimostri che, se[tex]Y[/tex] è di Hausdorff, allora l'estensione è unica.

Secondo voi, in questo problema si intende che l'estensione sia continua?

supponendo che l'estensione debba essere continua, io ho ragionato così:

supponiamo per assurdo che[tex]f[/tex] possieda due estensioni continue e distinte[tex]g(x),h(x)[/tex]: sia [tex]x \in D(A) \setminus A[/tex] tale che[tex]g(x) \not = h(x)[/tex]: allora, dato che [tex]Y[/tex] è di Hausdorff, esistono due aperti [tex]U,V[/tex] disgiunti tali che [tex]g(x) \in U, h(x) \in V[/tex]: allora [tex]g^{-1}(U) \cap h^{-1}(V)[/tex] è aperto nella topologia indotta sulla chiusura di [tex]A[/tex]e contiene [tex]x[/tex] : ma questo è un punto di accumulazione per [tex]A[/tex] , per cui l'aperto contiene qualche punto di A che viene mandato in aperti disgiunti, assurdo.

può andare?

[dissonance]

"bestiedda2":Secondo voi, in questo problema si intende che l'estensione sia continua?

Certo. E' chiaro che di estensioni non continue ne puoi trovare a iosa.

supponiamo per assurdo che[tex]f[/tex] possieda due estensioni continue e distinte[tex]g(x),h(x)[/tex]: sia [tex]x \in D(A) \setminus A[/tex] tale che[tex]g(x) \not = h(x)[/tex]: allora, dato che [tex]Y[/tex] è di Hausdorff, esistono due aperti [tex]U,V[/tex] disgiunti tali che [tex]g(x) \in U, h(x) \in V[/tex]: allora [tex]g^{-1}(U) \cap h^{-1}(V)[/tex] è aperto nella topologia indotta sulla chiusura di [tex]A[/tex]e contiene [tex]x[/tex] : ma questo è un punto di accumulazione per [tex]A[/tex] , per cui l'aperto contiene qualche punto di A che viene mandato in aperti disgiunti, assurdo.

può andare?

Ok.