Esrcizio molteplicità algebrica e geometrica

[lepre561]

A livello teorico so come si calcolano ma non so se durante i calcoli faccio bene.

A=$((1,1,0),(0,1,0),(0,0,0))$

eseguo la molteplicità algebrica:
det$((1-lambda,1,0),(0,1-lambda,0),(0,0,-lambda))$

quindi Ma= $- lambda(1-lambda)^2$

a questo punto mi blocco la molteplicità algebrica sarebbe???
$lambda_0=0$ e $lambda_1=1$????

poi per la molteplicità geometrica calcolo:
rango di A =2
poi successivamente $[rankA-(0)I]$ e poi $[rankA-(1)I]$ giusto???


e quindi la molteplicità geometrica mi verrà $[ 2-rankA-(0)I]$ e $[2-rankA-(1)I]$

giusto???

$HELP ME$

[feddy]

@lepre561 altri utenti ti hanno già detto che fare gli esercizi così a macchinetta non serve a nulla.
Dici che a livello teorico sai come si "calcolano" le molteplicità: a me non pare proprio.

La molteplicità algebrica di $lambda$ è la molteplicità dello zero del polinomio caratteristico, insomma, il numero di volte che $lambda$ annulla il polinomio $p(lambda)$.

Per la molteplicità geometrica, questa è la dimensione dell'autospazio relativo a $lambda$. Puoi calcolare $m.g(lambda)=n-rk(A- lambda*I)$ a livello operativo, dove $n$ è la taglia della matrice, $I$ è la matrice identica.

Ora prova tu

[lepre561]

"feddy":@lepre561 altri utenti ti hanno già detto che fare gli esercizi così a macchinetta non serve a nulla.
Dici che a livello teorico sai come si "calcolano" le molteplicità: a me non pare proprio.

La molteplicità algebrica di $lambda$ è la molteplicità dello zero del polinomio caratteristico, insomma, il numero di volte che $lambda$ annulla il polinomio $p(lambda)$.

Per la molteplicità geometrica, questa è la dimensione dell'autospazio relativo a $lambda$. Puoi calcolare $m.g(lambda)=n-rk(A- lambda*I)$ a livello operativo, dove $n$ è la taglia della matrice, $I$ è la matrice identica.

Ora prova tu

infatti scusami hai perfettamente ragione errore di distrazione soprattutto per la matrice geometrica non è $2 -ranka- lambda* I$ ma bisogna sostituire 2 con 3 in quanto 3 è l'ordine della matrice

il mio dubbio era sopratutto sulla molteplicità algebrica a livello puramente dei calcoli

nel mio caso lo annulla 3 volte perchè una volta per zero e due volte per 1(dato che sta $(1- lambda)^2$)???

[feddy]

"lepre561":
il mio dubbio era sopratutto sulla molteplicità algebrica a livello puramente dei calcoli

nel mio caso lo annulla 3 volte perchè una volta per zero e due volte per 1(dato che sta $(1- lambda)^2$)???

No.

La molteplicità algebrica è un numero naturale che dipende dall'autovalore che stai considerando !
Hai evidentemente due autovalori:
$lambda_1=1$, con molteplicità algebrica pari a $2$.
$lambda_2=0$, con m.a. pari a $0$.

Inoltre, la somma delle molteplicità del polinomio caratteristico è sempre $n$ (taglia della matrice)

[lepre561]

"feddy":[quote="lepre561"]
il mio dubbio era sopratutto sulla molteplicità algebrica a livello puramente dei calcoli

nel mio caso lo annulla 3 volte perchè una volta per zero e due volte per 1(dato che sta $(1- lambda)^2$)???

No.

La molteplicità algebrica è un numero naturale che dipende dall'autovalore che stai considerando !
Hai evidentemente due autovalori:
$lambda_1=1$, con molteplicità algebrica pari a $2$.
$lambda_2=0$, con m.a. pari a $0$.

Inoltre, la somma delle molteplicità del polinomio caratteristico è sempre $n$ (taglia della matrice)[/quote]


E' esattamente questo che non riesco a capire perchè la m.a di $lambda_1=2$???mentre quello di $lambda_2=0$

[feddy]

Quante volte $lambda$ annulla il termine $(lambda -1)^2$ ?
Due volte. Quindi la molteplicità algebrica è $2$

[lepre561]

"feddy":Quante volte $lambda$ annulla il termine $(lambda -1)^2$ ?
Due volte. Quindi la molteplicità algebrica è $2$

scusa l'insistenza quindi $(lambda-1)^2$ sarebbe $(lambda-1)(lambda-1)$ e per questo che si annulla 2 volte???

[feddy]

Sì