Esprimere una combinazione lineare
Buonasera a tutti, avrei un quesito per voi: 
Dato i vettorI V (k,k,k) U(k,1,1) W(0,2,1), stabilire per quali valori di K i vettori sono linearmente dipendenti e per ciascun valore di k così ottenuto, esprimere un vettore in combinazione lineare degli altri.
Allora, io ho calcolato il determinante della matrice composta dai tre vettori e ponendolo uguale a zero ho trovato i valori di k che mi rendono i 3 vettori linearmente dipendenti, è il ragionamento giusto? I valori di k così trovati sarebbero k=0 e k=1.
Il problema è che adesso provando a creare un sistema lineare con i 3 vettori, faccio difficoltà ad esprimerli come combinazione lineare
Vi ringrazio in anticipo per la grande disponibilità come sempre
Dato i vettorI V (k,k,k) U(k,1,1) W(0,2,1), stabilire per quali valori di K i vettori sono linearmente dipendenti e per ciascun valore di k così ottenuto, esprimere un vettore in combinazione lineare degli altri.
Allora, io ho calcolato il determinante della matrice composta dai tre vettori e ponendolo uguale a zero ho trovato i valori di k che mi rendono i 3 vettori linearmente dipendenti, è il ragionamento giusto? I valori di k così trovati sarebbero k=0 e k=1.
Il problema è che adesso provando a creare un sistema lineare con i 3 vettori, faccio difficoltà ad esprimerli come combinazione lineare
Vi ringrazio in anticipo per la grande disponibilità come sempre
Risposte
Una volta saputi i valori di $k$ per cui sono dipendenti, basta mettere quei vettori in una matrice e ridurre a scala con gauss, così vedrai in che modo sono dipendenti.
Ciao, ti ringrazio per la risposta.
Il metodo di riduzione a scala di Gauss noi non lo abbiamo fatto, quindi devo cavarmela senza.
Ciò che ho provato a fare io è stato creare due sistemi lineari che avessero come matrice incompleta i 3 vettori colonna e come vettore dei termini noti il vettore nullo.
A questo punto, correggimi se sbaglio, poiché per k=0 e k=1 il determinante della matrice incompleta mi risulta 0, entrambe le matrice complete dei rispettivi sistemi mi risultano di rango 2. Poiché il rango ottenuto è minore del rango massimo possibile, cioè nel mio caso 3, questo già mi dice che i 3 vettori dovrebbero essere linearmente dipendenti in entrambi i casi, o sbaglio?
Se il mio ragionamento è giusto, allora adesso dovrei essere in grado di trovarmi i coefficienti attraverso la risoluzione dei rispettivi sistemi lineari. Per k=1 nessun problema sono riuscito a determinare i coefficienti, per k=0 mi risulta invece che il vettore soluzione è proprio il vettore nullo, dunque i vettori non sono esprimibili come combinazione lineare e non sono linearmente dipendenti. A questo punto mi chiedo come sia possibile... Se i miei vettori sono linearmente dipendenti in teoria dovrebbero essere anche esprimibili sempre come combinazione lineare?
Perdonatemi la confusione
Il metodo di riduzione a scala di Gauss noi non lo abbiamo fatto, quindi devo cavarmela senza.
Ciò che ho provato a fare io è stato creare due sistemi lineari che avessero come matrice incompleta i 3 vettori colonna e come vettore dei termini noti il vettore nullo.
A questo punto, correggimi se sbaglio, poiché per k=0 e k=1 il determinante della matrice incompleta mi risulta 0, entrambe le matrice complete dei rispettivi sistemi mi risultano di rango 2. Poiché il rango ottenuto è minore del rango massimo possibile, cioè nel mio caso 3, questo già mi dice che i 3 vettori dovrebbero essere linearmente dipendenti in entrambi i casi, o sbaglio?
Se il mio ragionamento è giusto, allora adesso dovrei essere in grado di trovarmi i coefficienti attraverso la risoluzione dei rispettivi sistemi lineari. Per k=1 nessun problema sono riuscito a determinare i coefficienti, per k=0 mi risulta invece che il vettore soluzione è proprio il vettore nullo, dunque i vettori non sono esprimibili come combinazione lineare e non sono linearmente dipendenti. A questo punto mi chiedo come sia possibile... Se i miei vettori sono linearmente dipendenti in teoria dovrebbero essere anche esprimibili sempre come combinazione lineare?
Perdonatemi la confusione
$k=1$
Devi trovare $x$ e $y$ tali che:
$x[ ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ]+y[ ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ] = [ ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ]$
E si trova $x=1$ e $y=0$
Per $k=0$:
$x[ ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ]+y[ ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ] = [ ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ]$
Da cui $x=0$ e $y=0$
Non vedo quale sia il problema nell'aver trovato come soluzione solo i coefficienti nulli, infatti è proprio quello che deve succedere, infatti i tre vettori $(0,0,0), (0,1,1)$ e $(0,2,1)$ non sono indipendenti, ma lo sono i vettori $(0,1,1)$ e $(0,2,1)$, questo significa che essi producono il vettore nullo solo con coefficienti nulli, ma $(0,0,0)$ non è altro che il vettore nullo e pertanto l'unico modo di ottenerlo è con $x=y=0$
Devi trovare $x$ e $y$ tali che:
$x[ ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ]+y[ ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ] = [ ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ]$
E si trova $x=1$ e $y=0$
Per $k=0$:
$x[ ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ]+y[ ( 0 ),( 2 ),( 1 ) ] = [ ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ]$
Da cui $x=0$ e $y=0$
Non vedo quale sia il problema nell'aver trovato come soluzione solo i coefficienti nulli, infatti è proprio quello che deve succedere, infatti i tre vettori $(0,0,0), (0,1,1)$ e $(0,2,1)$ non sono indipendenti, ma lo sono i vettori $(0,1,1)$ e $(0,2,1)$, questo significa che essi producono il vettore nullo solo con coefficienti nulli, ma $(0,0,0)$ non è altro che il vettore nullo e pertanto l'unico modo di ottenerlo è con $x=y=0$
Grazie mille credo di aver finalmente, capito!
Avrei anche un'altra cosa da chiederti visto la tua disponibilità... è possibile che vettori linearmente dipendenti non siano esprimibili mediante combinazione lineare?
In particolare, dati 4 vettori w(0,1,1) v1(1,1,1) v2(1,0,2) v3(1,3,-1), mi viene chiesto di dire se essi siano linearmente dipendenti ed inoltre se sia possibile scrivere w in combinazione lineare degli altri 3. Mi viene fatto notare inoltre sul testo che la dipendenza lineare dei quattro vettori non è in contrasto sul fatto che il vettore w non sia esprimibile come combinazione lineare degli altri...
Dato che ho 4 vettori di dimensione 3, essi sono per forza linearmente dipendenti tra loro. Risolvendo il sistema lineare ho trovato che 0W-3V1+2V2+1V3=0.... In questo caso w non è trascrivibile come combinazione lineare o sbaglio? E come è possibile se i vettori sono linearmente dipendenti?
Avrei anche un'altra cosa da chiederti visto la tua disponibilità... è possibile che vettori linearmente dipendenti non siano esprimibili mediante combinazione lineare?
In particolare, dati 4 vettori w(0,1,1) v1(1,1,1) v2(1,0,2) v3(1,3,-1), mi viene chiesto di dire se essi siano linearmente dipendenti ed inoltre se sia possibile scrivere w in combinazione lineare degli altri 3. Mi viene fatto notare inoltre sul testo che la dipendenza lineare dei quattro vettori non è in contrasto sul fatto che il vettore w non sia esprimibile come combinazione lineare degli altri...
Dato che ho 4 vettori di dimensione 3, essi sono per forza linearmente dipendenti tra loro. Risolvendo il sistema lineare ho trovato che 0W-3V1+2V2+1V3=0.... In questo caso w non è trascrivibile come combinazione lineare o sbaglio? E come è possibile se i vettori sono linearmente dipendenti?
La definizione di "indipendenza lineare" tra vettori dice che dati $n$ vettori essi sono linearmente indipendenti se nessuno di esso si può esprimere come combinazione lineare degli altri; ma se almeno uno si può esprimere come combinazione degli altri allora essi sono dipendenti, ma ciò non significa che se sono dipendenti allora qualsiasi vettore può essere espresso come combinazione degli altri, ma che almeno uno può esserlo.
Grazie mille mi hai illuminato!!!
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