Esistenza e unicità di una applicazione lineare

[Luca Genoni]

Salve, è il mio primo giorno e port su questo forum.
Ho deciso di iscrivermi perchè mi è sorto un dubbio sul teorema di rappresentazione/ interpolazione(ho solo capito che, correggetemi se sbaglio interpolazione serve a dimostrare l'esistenza invece la rappresentazione comprende anche l'unicità)

Quindi se io riesco a rappresentare l'applicazione lineare con una matrice A posso automaticamente dire che esiste ed è unica?
In particolare se la mia matrice A ha dim(ker(A)) diverso da 0 esiste ed è unica in ogni caso?( penso sia giusta questa)
oppure visto che ha un grado di infinità pari alla dim(ker(A)) esistone dim(ker(A)) matrici che rappresentano f?(penso sia sbagliata ma oggi svolgendo un esercizio mi è sorto questo dubbio )

Spero di essere stato chiaro data la mia confusione per questo argomento

[Oznerol.92]

Benvenuto! ^_^
Sì, ogni applicazione lineare tra spazi vettoriali
\(\displaystyle f : E \rightarrow F \)
è rappresentabile attraverso una matrice \(\displaystyle M=M_f \). Tale matrice è unica se si riferisce a due precisi sistemi di coordinate per \(\displaystyle E \) e per \(\displaystyle F \). Infatti se
\(\displaystyle B_E =\{e_1, \ldots , e_n \}\)
è una base per \(\displaystyle E \) (supponiamo \(\displaystyle E \) e \(\displaystyle F \) a dimensione finita) allora per ogni
\(\displaystyle x=x_1e_1 + \ldots + x_n e_n \)
in \(\displaystyle E \) vale che
\(\displaystyle f(x)= x_1f(e_1) + \ldots + x_nf(e_n) \)
Se poi
\(\displaystyle B_F= \{f_1, \ldots , f_m \}\)
è una base per \(\displaystyle F \) e
\(\displaystyle f(e_j)=y_1^jf_1 + \ldots + y_m^jf_m \)
per ogni \(\displaystyle j=1,\ldots, n \), allora ottieni che la coordinata i-esima di \(\displaystyle f(x) \) è
\(\displaystyle y_i^1x_1 + \ldots + y_i^nx_n \)
E quindi \(\displaystyle M=( m_{i,j}) \), con
\(\displaystyle m_{i,j}= y_i^j \)
Fissate le basi \(\displaystyle B_E \) e \(\displaystyle B_F \), tale rappresentazione è chiaramente unica per costruzione!
Per tenere a mente come costruire \(\displaystyle M \) ricorda che sulle colonne ci vanno le coordinate rispetto la base di \(\displaystyle B_F \) dei vettori \(\displaystyle f(e_j) \).
Ciaooo!