Esistenza e unicità della funzione determinante
Ho alcuni dubbi riguardo a questa dimostrazione, ho provato a cercare su google ma si trova poco e niente, e ciò che ho trovato mi ha solo confuso perché il mio libro segue un altro ragionamento. Vi dirò ciò che ho capito della dimostrazione e dove non mi è chiaro:
-inizialmente vengono enunciate le proprietà base che vogliamo la funzione determinante abbia(linearità in ogni riga, si annulla su righe uguali, d calcolato sulla matrice identica è uguale a 1);
-da queste proprietà ne seguono altre, che ad esempio ci permettono di effettuare gauss in maniera opportuna cambiando al massimo il segno di d;
-si arriva, sfruttando queste proprietà, a un valore del determinante basato sul prodotto dei pivot della matrice ottenuta tramite gauss in maniera opportuna;
-qui arriva un qualcosa di molto dubbio, la funzione d è unica se esiste perché si deve calcolare tramite il prodotto dei pivot,
come si può dire questo a priori? Lo possiamo dire perché siamo arrivati a questa formula solo applicando le proprietà prima elencate? Come possiamo essere certi che con un altro ragionamento non si possa arrivare a una diversa formulazione di d?
(questo secondo il libro farebbe si che la funzione determinata attraverso queste proprietà non possa esistere, ma dunque l'unicità non è condizione necessaria per l'esistenza? Cioè non vanno dimostrate insieme?)
Inoltre il mio stesso libro dice che i pivot non sono univocamente determinati, e non sappiamo nemmeno che il loro prodotto lo sia( è una conclusione a cui arriva solo dopo la dimostrazione).
- successivamente il libro fa qualcosa che in qualche modo rende inutile tutto ciò che ha detto prima(per quanto ho capito io). Enuncia questo teorema: per ogni n esiste un' unica funzione d che soddisfa le proprietà base, ed essa è data dallo sviluppo di laplace lungo la prima colonna (successivamente dimostra che vale per ogni colonna e riga), ciò che mi chiedo è, non basta questa come dimostrazione di esistenza e unicità? l'idea è che per n =2 so che esiste una funzione d unica (cosa che si dimostra facilmente) come ad-bc e dunque grazie a tale formula posso ricondurre il calcolo di d su una matrice di ordine n al calcolo per n=2 che sappiamo essere unico, ergo se dimostriamo che la formula soddisfa le proprietà base abbiamo finito.
Dunque, è necessario la dimostrazione iniziale riguardante i pivot(di cui non capisco il senso)?
Come faccio a sapere se le mie due formulazioni sono equivalenti?
-inizialmente vengono enunciate le proprietà base che vogliamo la funzione determinante abbia(linearità in ogni riga, si annulla su righe uguali, d calcolato sulla matrice identica è uguale a 1);
-da queste proprietà ne seguono altre, che ad esempio ci permettono di effettuare gauss in maniera opportuna cambiando al massimo il segno di d;
-si arriva, sfruttando queste proprietà, a un valore del determinante basato sul prodotto dei pivot della matrice ottenuta tramite gauss in maniera opportuna;
-qui arriva un qualcosa di molto dubbio, la funzione d è unica se esiste perché si deve calcolare tramite il prodotto dei pivot,
come si può dire questo a priori? Lo possiamo dire perché siamo arrivati a questa formula solo applicando le proprietà prima elencate? Come possiamo essere certi che con un altro ragionamento non si possa arrivare a una diversa formulazione di d?
(questo secondo il libro farebbe si che la funzione determinata attraverso queste proprietà non possa esistere, ma dunque l'unicità non è condizione necessaria per l'esistenza? Cioè non vanno dimostrate insieme?)
Inoltre il mio stesso libro dice che i pivot non sono univocamente determinati, e non sappiamo nemmeno che il loro prodotto lo sia( è una conclusione a cui arriva solo dopo la dimostrazione).
- successivamente il libro fa qualcosa che in qualche modo rende inutile tutto ciò che ha detto prima(per quanto ho capito io). Enuncia questo teorema: per ogni n esiste un' unica funzione d che soddisfa le proprietà base, ed essa è data dallo sviluppo di laplace lungo la prima colonna (successivamente dimostra che vale per ogni colonna e riga), ciò che mi chiedo è, non basta questa come dimostrazione di esistenza e unicità? l'idea è che per n =2 so che esiste una funzione d unica (cosa che si dimostra facilmente) come ad-bc e dunque grazie a tale formula posso ricondurre il calcolo di d su una matrice di ordine n al calcolo per n=2 che sappiamo essere unico, ergo se dimostriamo che la formula soddisfa le proprietà base abbiamo finito.
Dunque, è necessario la dimostrazione iniziale riguardante i pivot(di cui non capisco il senso)?
Come faccio a sapere se le mie due formulazioni sono equivalenti?
Risposte
Che libro e'?
L'idea della dimostrazione comunque e' corretta. Per maggiore chiarezza io la farei alla rovescia.
Innanzitutto cerchiamo una funzione sullo spazio delle matrici $n \times n$ con queste proprieta':
- multilinearita' sulle righe
- si annulla su una matrice con due righe uguali
- vale $1$ sull'identita'
Definiamo una funzione sullo spazio delle matrici, che fa quella cosa orribile con lo sviluppo di Laplace, e che chiamiamo determinante della matrice. Si dimostra che questa funzione soddisfa in effetti le proprieta' che volevamo.
Ora vogliamo far vedere che il determinante e' l'unica funzione con queste proprieta'. Prendiamo quindi una funzione $F$ che soddisfa le proprieta' sopra elencate, e dimostriamo che, per ogni matrice $A$, $F(A) = \det(A)$.
Osserviamo che se $B$ e' ottenuta da $A$ attraverso un passo di Gauss, allora $F(A) = F(B)$ (con un po' di attenzione ai segni se il passo di Gauss e' uno scambio di righe). I questo modo scopriamo che $F(A)$ coincide con il prodotto dei pivot $p_1,...,p_n$ di una riduzione di Gauss che ci piace.
A questo punto ci viene un dubbio: ma se faccio la riduzione di Gauss in un altro modo, i miei pivot cambiano; come faccio a essere sicuro che il prodotto non cambia? Qui ci sono due risposte possibili.
La prima e' che $F$ e' una funzione ben definita (per ipotesi), quindi il suo valore su $A$ (che e' una matrice qualsiasi, che sta li' a prescindere da cosa facciamo noi con i passi di Gauss) e' $F(A)$ e se io trovo due modi diversi di calcolare $F(A)$ quei due modi devono dare lo stesso risultato.
La seconda risposta e' che il prodotto dei pivot e' proprio il determinante, definito con lo sviluppo di Laplace che nel caso di una matrice triangolare e' facile facile; e il determinante non dipende dalla riduzione di Gauss che faccio; e' il prodotto dei pivot alla fine di qualunque riduzione di Gauss mi va di fare sulla mia matrice.
Questo dimostra proprio che su ogni matrice $A$, il valore di $F$ e' uguale a quello di $\det$ e quindi sono la stessa funzione.
La domanda che poni sul dimostrare l'unicita' prima dell'esistenza e' legittima e si basa su un'interpretazione molto "matematica" della parola "unico" che e' un po' lontana da quella del linguaggio naturale: in matematica quando si dice che qualcosa e' "unico" a volte si intende che ce ne e' "al piu' uno", ma magari non ce ne e' neanche uno. nel linguaggio naturale in genere con unico si intende che ne esiste esattamente uno.
Credo che con la spiegazione data sopra, che "separa" esistenza e unicita', la dimostrazione risulti piu' chiara. Tante volte pero' si preferisce partire dimostrando l'unicita', e usando le proprieta' richieste per forzare altre proprieta' che in un certo senso "rendono unica la funzione, ammesso che esista".
Nel caso del determinante, usiamo le proprieta' per dire che se una funzione con quelle proprieta' esiste, allora deve associare ad una matrice il prodotto dei suoi pivot dopo una eliminazione di Gauss. Ma magari una funzione fatta cosi (cioe' multilineare, alternante, che vale $1$ sull'identita', che non cambia sulle riduzioni di Gauss, che vale il prodotto dei pivot, che soddisfa tutte le proprieta' che discendono da queste) non esiste; e invece possiamo definire in un modo strano una funzione strana che chiamiamo determinante e che come per magia ha tutte queste proprieta'.
L'idea della dimostrazione comunque e' corretta. Per maggiore chiarezza io la farei alla rovescia.
Innanzitutto cerchiamo una funzione sullo spazio delle matrici $n \times n$ con queste proprieta':
- multilinearita' sulle righe
- si annulla su una matrice con due righe uguali
- vale $1$ sull'identita'
Definiamo una funzione sullo spazio delle matrici, che fa quella cosa orribile con lo sviluppo di Laplace, e che chiamiamo determinante della matrice. Si dimostra che questa funzione soddisfa in effetti le proprieta' che volevamo.
Ora vogliamo far vedere che il determinante e' l'unica funzione con queste proprieta'. Prendiamo quindi una funzione $F$ che soddisfa le proprieta' sopra elencate, e dimostriamo che, per ogni matrice $A$, $F(A) = \det(A)$.
Osserviamo che se $B$ e' ottenuta da $A$ attraverso un passo di Gauss, allora $F(A) = F(B)$ (con un po' di attenzione ai segni se il passo di Gauss e' uno scambio di righe). I questo modo scopriamo che $F(A)$ coincide con il prodotto dei pivot $p_1,...,p_n$ di una riduzione di Gauss che ci piace.
A questo punto ci viene un dubbio: ma se faccio la riduzione di Gauss in un altro modo, i miei pivot cambiano; come faccio a essere sicuro che il prodotto non cambia? Qui ci sono due risposte possibili.
La prima e' che $F$ e' una funzione ben definita (per ipotesi), quindi il suo valore su $A$ (che e' una matrice qualsiasi, che sta li' a prescindere da cosa facciamo noi con i passi di Gauss) e' $F(A)$ e se io trovo due modi diversi di calcolare $F(A)$ quei due modi devono dare lo stesso risultato.
La seconda risposta e' che il prodotto dei pivot e' proprio il determinante, definito con lo sviluppo di Laplace che nel caso di una matrice triangolare e' facile facile; e il determinante non dipende dalla riduzione di Gauss che faccio; e' il prodotto dei pivot alla fine di qualunque riduzione di Gauss mi va di fare sulla mia matrice.
Questo dimostra proprio che su ogni matrice $A$, il valore di $F$ e' uguale a quello di $\det$ e quindi sono la stessa funzione.
La domanda che poni sul dimostrare l'unicita' prima dell'esistenza e' legittima e si basa su un'interpretazione molto "matematica" della parola "unico" che e' un po' lontana da quella del linguaggio naturale: in matematica quando si dice che qualcosa e' "unico" a volte si intende che ce ne e' "al piu' uno", ma magari non ce ne e' neanche uno. nel linguaggio naturale in genere con unico si intende che ne esiste esattamente uno.
Credo che con la spiegazione data sopra, che "separa" esistenza e unicita', la dimostrazione risulti piu' chiara. Tante volte pero' si preferisce partire dimostrando l'unicita', e usando le proprieta' richieste per forzare altre proprieta' che in un certo senso "rendono unica la funzione, ammesso che esista".
Nel caso del determinante, usiamo le proprieta' per dire che se una funzione con quelle proprieta' esiste, allora deve associare ad una matrice il prodotto dei suoi pivot dopo una eliminazione di Gauss. Ma magari una funzione fatta cosi (cioe' multilineare, alternante, che vale $1$ sull'identita', che non cambia sulle riduzioni di Gauss, che vale il prodotto dei pivot, che soddisfa tutte le proprieta' che discendono da queste) non esiste; e invece possiamo definire in un modo strano una funzione strana che chiamiamo determinante e che come per magia ha tutte queste proprieta'.
Grazie mille! Ora mi è molto più chiaro.
Il libro è Geometria analitica con elementi di algebra lineare di Abate (non studio matematica), molto semplice come libro a mio avviso, l'unica cosa che non avevo capito bene è questa dimostrazione.
Grazie ancora
Il libro è Geometria analitica con elementi di algebra lineare di Abate (non studio matematica), molto semplice come libro a mio avviso, l'unica cosa che non avevo capito bene è questa dimostrazione.
Grazie ancora
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