Esistenza e unicità applicazione lineare

[marauder10]

stabilire per quali valori del parametro reale x le posizioni:
f(1,1,x)=(1,1,x,x)
f(1,0,x)=(1,1,1,1)
f(2-x,x,0)=(x,x,1,1)

individuano un omomorfismo tra gli spazi vettoriali R3 ed R4 e nel caso in cui sia unico calcolare il ker(f)


so che se i 3 vettori di partenza sono linearmente indipendenti allora l'applicazione esiste ed è unica( in questo caso x diverso da 0 e 2)....ma per x=0 e x=2 come faccio a capire se le applicazioni possibili sono infinite oppure non esistono?
per x=0 e per x=2 anche le immagini mi risultano linearmente dipendenti... io sapevo che a questo punto potevo affermare che esistono infiniti omomorfismi.... ma noto che ad esempio per x=0 non viene rispettata la linearità.
quindi vorrei sapere, nel caso in cui i vettori di partenza sia linearmente dipendenti, che considerazione fare sulle immagini

grazie

[stormy1]

per x=2 scrivi il 3° vettore del dominio come combinazione lineare dei primi 2

[marauder10]

quindi devo verificare che l'immagine del terzo vettore che mi dà il testo sia uguale all'immagine che calcolo scrivendo il vettore come combinazione lineare degli altri...giusto?

[stormy1]

esatto
devi verificare che $f(alphav+betaw)=alphaf(v)+betaf(w)$