Esistenza di trasformazione lineare

[santinabasso]

Ciao a tutti, volevo porre la seguente domanda:
se ho, nel campo dei reali, lo spazio vettoriale V (di dim=4) e lo spazio vettoriale W (di dim=3), e ho A,B,C,D,E come vettori di V e P,Q,R,S,T vettori di W, (so anche che {A,B,C,D} è indipendente, mentre E=A-B+C-D, e T=P+Q+R+S), esistono trasformazioni lineari φ da V in W che portino la quaterna ordinata (A,B,C,D) sulla quaterna (P,Q,R,S)??

Io ho pensato che, essendo dim(W)=3, la trasformazione lin. φ non può portare la quaterna(INDIPENDENTE) sulla quaterna "che dovrebbe essere terna"_oppure non c'entra niente? _ cioè intendo dire: dovrebbe risultare anche un altro vettore tra P,Q,R,S combinazione lin. degli altri 3 per essere corretto???

[santinabasso]

Nessuno può darmi indicazioni su come si verifica l'esistenza di questa trasformazione?

[spugna2]

"santinabasso":esistono trasformazioni lineari φ da V in W che portino la quaterna ordinata (A,B,C,D) sulla quaterna (P,Q,R,S)??

Se sai che $A,B,C,D$ sono indipendenti la risposta è automaticamente sì, e puoi rappresentare la funzione con una matrice avente come colonne i vettori $P,Q,R,S$ (o meglio, le loro coordinate rispetto a una base fissata di $W$)

[santinabasso]

Grazie spugna, ma quindi, per vedere se ho capito: allora una trasformazione lineare che porti (A,B,C,D,E) in (P,Q,R,S,T) non esiste semplicemente perché (A B C D E) non sono linearmente indip (in quanto, risulta dai dati che E sia combinazione lineare degli altri vettori), o si stabilisce in altro modo?
E poi altra cosa che voglio chiedere, relativa a quella a cui mi hai già risposto, è: come faccio in questo caso a stabilirne l'unicità(o se invece ne esistono infinite, o in un numero finito)?
Grazie per l'attenzione.

[spugna2]

"santinabasso":come faccio in questo caso a stabilirne l'unicità(o se invece ne esistono infinite, o in un numero finito)?
Grazie per l'attenzione.

In generale puoi dire che una funzione lineare è univocamente determinata dalle immagini dei vettori di una base, quindi se parti da un insieme di vettori linearmente indipendenti hai due casi:

- se formano una base, come nel tuo caso, hai l'unicità per quanto appena detto;

- se non formano una base, puoi aggiungere $k \ge 1$ vettori a quelli che avevi già per ottenere una base, e di nuovo hai l'esistenza e unicità se fissi le immagini di ognuno di questi vettori, ma sugli ultimi $k$ hai totale libertà, e in particolare hai infinite scelte possibili per l'immagine dell'ultimo vettore, quindi la risposta è "infinite"

"santinabasso":allora una trasformazione lineare che porti (A,B,C,D,E) in (P,Q,R,S,T) non esiste semplicemente perché (A B C D E) non sono linearmente indip (in quanto, risulta dai dati che E sia combinazione lineare degli altri vettori), o si stabilisce in altro modo?

Occhio! Per l'esistenza è sufficiente che i vettori siano linearmente indipendenti, ma non necessario. In questo caso stai partendo da un insieme di vettori che contiene la base $(A,B,C,D)$, quindi trovi un'unica funzione che soddisfa le prime quattro richieste, e devi capire se questa unica funzione soddisfa anche la quinta (oppure in quali casi la soddisfa). A questo punto dovresti saper rispondere...

[santinabasso]

Grazie. Soprattutto per la chiara spiegazione sull'unicità.