Esistenza di matrici associate
Salve a tutti.
Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali.
Dimostrare che esiste un’unica applicazione lineare f : V → V tale che
$f(1 − x) = 1 − x; f(x^2 − 1) = x^2 − x; f(x^2 + x + 1) = 0$
...
Stabilire se esiste una base B di V tale che la matrice associata a f, rispetto alla base B in partenza e in arrivo sia data da
$M_B^B=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$
Allora, per la prima parte, se non erro, mi basta notare che i tre vettori di partenza sono linearmente indipendenti.
Per la seconda invece non so come procedere. Chi mi sa dare una mano?
Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali.
Dimostrare che esiste un’unica applicazione lineare f : V → V tale che
$f(1 − x) = 1 − x; f(x^2 − 1) = x^2 − x; f(x^2 + x + 1) = 0$
...
Stabilire se esiste una base B di V tale che la matrice associata a f, rispetto alla base B in partenza e in arrivo sia data da
$M_B^B=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))$
Allora, per la prima parte, se non erro, mi basta notare che i tre vettori di partenza sono linearmente indipendenti.
Per la seconda invece non so come procedere. Chi mi sa dare una mano?
Risposte
il primo quesito secondo me dovrebbe essere un po' più precisa.
A meno di similitudini la risposta è sì, altrimenti no.
Perché rispetto a due basi diverse di ottiene la stessa applicazione e quindi prese $B,B'$ di $V$ e siano $A,A'$ le matrici che rappresentano $f$ rispettivamente alle basi $B,B'$ abbiamo due applicazioni identiche.
Se invece parliamo a meno di similitudini, allora l'applicazione è unica una volta fissata una base.
Per la seconda, devi vedere se $f$ è diagonalizzabile e se il suo polinomio caratteristico è $P(lambda)=(1-lambda)^2(-lambda)$
A meno di similitudini la risposta è sì, altrimenti no.
Perché rispetto a due basi diverse di ottiene la stessa applicazione e quindi prese $B,B'$ di $V$ e siano $A,A'$ le matrici che rappresentano $f$ rispettivamente alle basi $B,B'$ abbiamo due applicazioni identiche.
Se invece parliamo a meno di similitudini, allora l'applicazione è unica una volta fissata una base.
Per la seconda, devi vedere se $f$ è diagonalizzabile e se il suo polinomio caratteristico è $P(lambda)=(1-lambda)^2(-lambda)$
E se invece mostro che i tre vettori di partenza formano una base di V, posso garantire l'esistenza e l'unicità di f?
Per il secondo: noi abbiamo studiato la diagonalizzazione solo varie lezioni dopo la consegna di questo esercizio. Non c'è un'altra sttrada per arrivarci? Comunque, non capisco perché il fatto che f sia diagonalizzabile mi dice che esiste una base rispetto a cui quella matrice rappresenta f...
Grazie per la risposta.
Per il secondo: noi abbiamo studiato la diagonalizzazione solo varie lezioni dopo la consegna di questo esercizio. Non c'è un'altra sttrada per arrivarci? Comunque, non capisco perché il fatto che f sia diagonalizzabile mi dice che esiste una base rispetto a cui quella matrice rappresenta f...
Grazie per la risposta.
Esatto. Se quei tre vettori formano una base allora puoi dire che è unica a meno di similitudini.
Allora intanto il fatto che ti dica che rispetto ad un'altra base possano rappresentare la stessa applicazione, vuol dire che le due matrici sono simili. Si avrebbe che la matrice ottenuta rispetto alla tua base, sarebbe simile a una matrice diagonale.
Dunque $D=P^(-1)AP$ in particolare $det(D)=det(P^(-1)AP)=det(A)$
Tu hai, posti $e_1=1-x,e_2=x^2-1,e_3=x^2+x+1$
$f(e_1)=e_1$
$f(e_2)=x^2-x=x^2-x-1+1=(1-x)+(x^2-1)=e_1+e_2$
$f(e_3)=0$
Dunque $A=((1,1,0),(0,1,0),(0,0,0))$
Purtroppo hanno lo stesso rango, la stessa traccia e lo stesso polinomio caratteristico che se non ricordo male non è una condizione sufficiente per la diagonalizzabilità.
PS: per definizione $f$ si dice diagonalizzabile se esiste una base rispetto a cui $f$ si rappresenta in forma diagonale.
diciamo che se hai occhio si vede subito che non è diagonalizzabile(per due motivi)
1) la matrice $A$ è in forma canonica di Jordan
Il secondo è che il polinomio caratteristico è $P(lambda)=(1-lambda)^2(-lambda)$
$r(A-1)=r((0,1,0),(0,0,0),(0,0,-1))=2$ e quindi $mg(1)=1$ quindi non è diagonalizzabile.
Allora intanto il fatto che ti dica che rispetto ad un'altra base possano rappresentare la stessa applicazione, vuol dire che le due matrici sono simili. Si avrebbe che la matrice ottenuta rispetto alla tua base, sarebbe simile a una matrice diagonale.
Dunque $D=P^(-1)AP$ in particolare $det(D)=det(P^(-1)AP)=det(A)$
Tu hai, posti $e_1=1-x,e_2=x^2-1,e_3=x^2+x+1$
$f(e_1)=e_1$
$f(e_2)=x^2-x=x^2-x-1+1=(1-x)+(x^2-1)=e_1+e_2$
$f(e_3)=0$
Dunque $A=((1,1,0),(0,1,0),(0,0,0))$
Purtroppo hanno lo stesso rango, la stessa traccia e lo stesso polinomio caratteristico che se non ricordo male non è una condizione sufficiente per la diagonalizzabilità.
PS: per definizione $f$ si dice diagonalizzabile se esiste una base rispetto a cui $f$ si rappresenta in forma diagonale.
diciamo che se hai occhio si vede subito che non è diagonalizzabile(per due motivi)
1) la matrice $A$ è in forma canonica di Jordan
Il secondo è che il polinomio caratteristico è $P(lambda)=(1-lambda)^2(-lambda)$
$r(A-1)=r((0,1,0),(0,0,0),(0,0,-1))=2$ e quindi $mg(1)=1$ quindi non è diagonalizzabile.
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