Esistenza Base Canonica

[lollocava]

Ogni spazio vettoriale possiede una base canonica?

sulle dispense che utilizzo come preparazione risulta che "non ha senso parlare di base canonica per ogni spazio vettoriale".
questa affermazione, che non viene spiegata nel modo migliore, mi ha creato un pò di confusione.

in quali casi uno spazio vettoriale non possiede la base canonica?

[garnak.olegovitc1]

"lollocava":Ogni spazio vettoriale possiede una base canonica?

sulle dispense che utilizzo come preparazione risulta che "non ha senso parlare di base canonica per ogni spazio vettoriale".
questa affermazione, che non viene spiegata nel modo migliore, mi ha creato un pò di confusione.

in quali casi uno spazio vettoriale non possiede la base canonica?

che intendi per base canonica? So cosa vuoi dire, si dice per certi spazi vettoriali che una determinata base é la canonica per quello spazio vettoriale punto.. ora che non tutti gli spazi vettoriali hanno una base canonica mi pare banalmente ovvio, pensa hai sottospazi che sono spazi vettoriali rispetto alle restrizioni e pensa ad esempio al caso piú banale in assoluto ovvero \(\{0\}\), questo é spazio vettoriale ma non vedo base canonica in questo, ma pensa anche ad altri sottospazi vettoriali con basi non canoniche (non é detto che se un sottospazio abbia dimensione n allora i n vettori della sua base possono essere sostituiti a piacere da n elementi della base canonica dello spazio), e il nonsense per quanto intuitivo e poco formale possa essere si cela proprio qui!

Prendi l insieme $$T:=\{g \in K^M| \{g(x)\neq 0_K| x \in M\} \text{ é finito}\} \text{ con } K \text{ corpo ed } M \text{ un insieme}$$ esso é sottospazio vettoriale dello spazio delle funzioni \(g \in K^M\) (ricordati che un campo é sempre spazio vettoriale anche, ergo lo spazio delle funzioni in caso generale sarebbe l insieme delle funzioni \(h: M\to V\) con \(V\) un \(K-\)spazio vettoriale). Cerca di pensare ad alcuni esempi di \(T\), ad esempio lo spazio dei polinomi (se definite come funzioni, in realtá sono particolari successioni), delle matrici anche (se definite appositamente come funzioni da \(J_m \times J_n \to K\).), o il famigerato \(K^n\)(anche qui se si definiscono le \(n-\)uple come funzioni ergo \(K^n:=K^{J_n}\),.... (in generale lo spazio delle successioni, o degli omomorfismi, che sono esempi per il generale caso dello spazio delle funzioni, non rientrano in questo caso... in effetti sto definendo la base canonica per un sottospazio di questo e questo dovrebbe farti capire al volo). Cosa facciamo adesso? Semplice, prendiamo un \(j \in M\) e poniamo la seguente funzione (associata ad \(j\)) $$e_j:M\to K \, , \, i \mapsto \begin{cases} 1_K & \text{se } i=j \\ 0_K & \text{altrimenti}\end{cases}$$ e la famiglia \((e_j)_{j\in M}\) é base, lo puoi provare, e dicesi base canonica (associata al sottospazio vettoriale \(T\))