Esistenza applicazione lineare

[Onepablo]

Ecco il testo dell'esercizio: dire (motivando la risposta) se esiste un'applicazione lineare $f: RR_{2,2} \to RR_{2,2}$ tale che: 1) $S={( ( 0 , 1),( 1, 0) ),( ( 0 , 0),( 0, 1) )}$ sia una base per $Ker f$, $f(( ( -1, 2),( 0, 0) ))=( ( 1, 2),( 1, 0) )$ e $f(( ( -1 , 0),( 0, 2) ))=( ( 0 , 0),( 4, 4) ) $. 2)Determinare le matrici associate ad f nel riferimento naturale e nel riferimento $R={( ( 0 , 1),( 1, 0) ),( ( 0 , 0),( 0, 1) ),( ( -1 , 2),( 0, 0) ),( ( -1 , 0),( 0, 2) )}$.

[frab1]

Bene!risolvilo!

Nessuno ti aiuterà se non dimostri di acervi sbattuto la testa e se non scrivi le tue considerazioni!! Leggiti il regolamento

[Onepablo]

"frab":Bene!risolvilo!

Nessuno ti aiuterà se non dimostri di acervi sbattuto la testa e se non scrivi le tue considerazioni!! Leggiti il regolamento

Hai ragione il problema è che faccio un pò fatica proprio ad impostarlo.Qualche dritta?

[Onepablo]

[quote=Onepablo]Ecco il testo dell'esercizio: dire (motivando la risposta) se esiste un'applicazione lineare $f: RR_{2,2} \to RR_{2,2}$ tale che: 1) $S={( ( 0 , 1),( 1, 0) ),( ( 0 , 0),( 0, 1) )}$ sia una base per $Ker f$, $f(( ( -1, 2),( 0, 0) ))=( ( 1, 2),( 1, 0) )$ e $f(( ( -1 , 0),( 0, 2) ))=( ( 0 , 0),( 4, 4) ) $. 2)Determinare le matrici associate ad f nel riferimento naturale e nel riferimento $R={( ( 0 , 1),( 1, 0) ),( ( 0 , 0),( 0, 1) ),( ( -1 , 2),( 0, 0) ),( ( -1 , 0),( 0, 2) )}$. Accenno ad una mia idea:ho pensato che le immagini delle 2 matrici della base del $ker(f)$ siano nulle ovvero si ha: $f(( ( 0, 1),( 1, 0) ))=( ( 0, 0),( 0, 0) ) $ ed $f(( ( 0 , 0),( 0, 1) ))=( ( 0, 0),( 0, 0) ) $ e pertanto la base per $Im(f)$ è $T={( ( 1 , 2),( 1, 0) ),( ( 0 , 0),( 4, 4) )}$;quindi $dim Ker(f)+dim Im(f)=4$ ovvero pari alla dimensione dello spazio vettoriale $RR_{2,2}$.Mi basta questo ragionamento per provare l'esistenza dell'applicazione lineare? Per il calcolo del punto 2 procedo considerando per semplicità lo spazio vettoriale $RR^4$ che è isomorfo allo spazio vettoriale $RR_{2,2}$ e calcolo la matrice associata al riferimento naturale di $RR^4$ in tal modo: $f(0,1,1,0)=(0,0,0,0) rArr (0,0,0,0)=0e_1+0e_2+0e_3+0e_4$ ; $f(0,0,0,1)=(0,0,0,0) $ per cui le componenti sono tutte nulle come prima; $f(-1,2,0,0)=1e_1+2e_2+1e_3+0e_4$ ; $f(-1,0,0,2)=0e_1+0e_2+4e_3+4e_4$ e pertanto la matrice associata ad $f$ nel riferimento naturale mi viene: $ ( ( 0 , 0, 1, 0),( 0, 0, 2, 0),( 0, 0, 1, 4),( 0, 0, 0, 4) ) $.Per il riferimento R dato dal punto 2 invece si ha : $f(0,1,1,0)=(0,0,0,0) rArr (0,0,0,0)=(-c-d,a+2c,a,b+2d) rArr a=b=c=d=0$;$f(0,0,0,1)=(0,0,0,0) rArr a=b=c=d=0$;$f(-1,2,0,0)=(1,2,1,0) rArr a=1,b=3,c=1 / 2 ,d=-3 / 2$;$f(-1,0,0,2)=(0,0,4,4) rArr a=4,b=0,c=-2,d=2$.Pertanto la matrice associata ad $f$ nel riferimento $R$ è : $ ( ( 0 , 0, 1, 4),( 0, 0, 3, 0),( 0, 0, 1 / 2, -2),( 0, 0, -3 / 2, 2) ) $. Adesso visto che qualcuno non mi ha dato nemmeno il tempo di modificare il testo che già inveiva dicendo che dovevo sbatterci la testa e visto e considerato che mi sembra che un pò l'abbia sbattuta vorrei capire se qualcuno esperto mi possa dire se ciò che ho cercato di fare è corretto o meno.Grazie in anticipo!