Esistenza applicazione lineare

[kind85]

Salve a tutti. propongo un esercizio:
Sia $V=RR_2 [[x]]$ lo spazio dei polinomi reali di grado $<=2$
a) provare che i polinomi: $p_0=1$; $p_1=(x+1)$; $p_2=(x+1)^2$ sono una base di $V$
b) provare che esiste un'unica applicazione lineare $f:VtoV$ tale che $f(p_0)=1$ , $f(p_1)=x$, $f(p_2)=x^2$
c)trovare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica data dai polinomi: $1$;$x$;$x^2$

per quanto riguarda il punto a) non ci sono problemi: basta vedere se i polinomi sono linearmente indipedenti e se sono generatori di $V$.
quello che mi blocca è il punto b).
mi date una mano?
grazie

[kind85]

"Sergio":
Io cercherei le immagini degli elementi della base $1,x,x^2$ e le loro coordinate rispetto alla stessa base:
$f(1)=1$; coordinate: $(1,0,0)$;
$f(x)=f(p_1-p_0)=f(p_1)-f(p_0)=x-1$; coordinate: $(-1,1,0)$;
$f(x^2)=f(p_2-2p_1+p_0)=f(p_2)-2f(p_1)+f(p_0)=x^2-2x+1$; coordinate: $(1,-2,1)$.

Perchè? cioè, perchè $f(x)=f(p_1-p_0)$ e $f(x^2)=f(p_2-2p_1+p_0)$?

[kind85]

non riesco a capire il concetto:
il testo mi chiede di trovare, se esiste, un'applicazione lineare tale che $f(p_0)=1$, $f(p_1)=x$ e $f(p_2)=x^2$, cioè di trovare $f(a_0 +a_1 x+a_2 x^2)$ definita in modo tale che se "gli passo" $a_0=1, a_1=0, a_2=0$ deve restituirmi $1$; se gli passo $a_0=1, a_1=1, a_2=0$ deve restituirmi $x$; se gli passo $a_0=1, a_1=2, a_2=1$ deve restituirmi $x^2$.
quello che non capisco è: perchè devo fare $f(x)=f(p_1-p_0)$? che significa $f(x)$ se $x$ è il risultato che devo ottenere da $f$?
che $x=p_1 - p_0$ sono d'accordo, ma perchè mettere la $f$? a me sembra di andare al contrario.

Sergio, abbi pazienza con me (lo so che è difficile averne più di quanta ne hai avuta fin'ora ), lunedì sarà la quarta volta che provo a passare quest'esame, ma se non chiarisco i miei dubbi, anche se stupidi o strani, non riuscirò mai a capire le cose. comunque appena mi trovo dalle tue parti ti offro almeno un caffè!

[kind85]

Ok, penso di aver capito. Grazie