Eserizio sugli spazi vettoriali

[Phobos29]

Buongiorno, ho iniziato alcuni esercizi sugli spazi vettoriali, presi dal mio eserciziario, che purtroppo su questo esercizio non mi da lo svolgimento ma solo la soluzione.
Vi propongo brevemente il testo dell'esercizio:
"In R^2 si definiscono le seguenti operazioni :
-somma: (x,y)+(x',y')=(x'+x', y+y,);
-prodotto: a(x,y)=(x|a|, y|a|).
Si dimostri che, con questa somma e questo prodotto, R^2 non è uno spazio vettoriale."

Essendo il primo esercizio di questo tipo che affronto ho qualche problemino (sui libri gli esempi sono sempre troppo semplici )
per quanto riguarda la somma ho provato a dimostrarla e ottengo che in questo caso gode delle prorpietà commutativa, associativa, esistenza elemento neutro, esistenza opposto. I problemi li ho sul prodotto, sopratutto per le proprietà associativa e esistenza dell'elemento neutro. Qualcuno potrebbe darmi una mano mostrandomi come si dimostra anche solo una delle due?

P.s la soluzione dice che non è uno spazio perchè non gode della distributiva. Quindi penso che almeno le proprietà della somma di averle dimostrate senza commettere errori madornali

Saluti,
Francesco.

[Kashaman]

vediamo.
Allora, il fatto che $(RR^2,+)$ è un gruppo additivo è ovvio.
infatti è noto che $ (RR^2 , +) ~= (CC,+)$ .
Gli assiomi in se penso non siano difficili da verificare...
Per il neutro rispetto beh... devi trovare $a' in RR^2 | a(x,y) = ( x |a| , y |a| ) = (x, y) => $$\{(x|a| = x),(y|a| = y):} => |a|=1 => a=+-1$. Beh, a meno che non abbia fatto errori, mi sa che non è uno spazio vettoriale perché l'unità non è unica.