Esercizo ssp vettoriali

[Ketto411]

Siano

U = $((1,0,1,0),(-1,i,-1,1))$ e
V= { z $in$ $CC^4$ tale che z1+z2-z3-2z4=0}

due sottospazi vettoriali di $CC^4$. Trova equazioni parametriche e cartesiane per U e basi di V, U+V, U $nn$ V esibisci inoltre un supplementare di U $nn$ V in $CC^4$

SOLUZIONE
Si verifica facilmente che i generatori di U sono linearmente indipendenti, e quindi dimU = 2. Come eq. parametriche per U possiamo prendere
$\{(z1=t1-t2),(z2=it2),(z3=t1-t2),(z4=t2):}$
da cui si ricava
$\{(z1-z3=0),(z2-iz4=0):}$
I vettori e1-e2, e1+e3, 2e1+e4 costituiscono una base per V, e quindi dim V=3.
Sostituendo nell'equazione cartesiana di V le eq. paraetriche per U otteniamo t2=0,

DA QUI NN RIESCO + A CAPIRE COME VENGONO OTTENUTI I PROSSIMI PASSAGGI DELLA SOLUZIONE

una base di U $nn$ V è allora data da e1+e3 (PERCHE')
un supplementare W di U $nn$ V è un sottospazio che deve avere dimensione 3 (PERCHE', NON DEVE AVERE LA STESSA DIM DI U $nn$ V QUINDI 1??) e dev'essere tale W $nn$ (U $nn$ V)=0.
Dunque basta trovare un sottospazio W descritto da una sola eq cartesiana e non contenente c1+c3. Per esempio W= {z$in$ $CC^4$ tale che z1=0} va bene.
Infine, il Teorema di Grassman implica che la dim di U+V è uguale a 4, per cui U+V=$CC^4$ e una base per U+V è la base canonica di $CC^4$

GRAZIE!!!!
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[rook]

{e1+e3} è una base di U$nn$V poichè è l'unico elemento che appartenga ad una base di entrambi gli spazi.
Inoltre se il supplementare T di un sottospazio S di uno spazio vettoriale V deve esser tale che T+S = V e T$nn$S = {0v}
dunque poichè W+(U$nn$V) = $CC^4$ e W$nn$(U$nn$V) = {0v} si ha per il teorema di Grassmann dim(W) = dim ($CC^4$) - dim (U$nn$V).

[Ketto411]

Esercizo ssp vettoriali
Siano

U = ((1,0,1,0),(-1,i,-1,1))e
V= { z ∈ ℂ4 tale che z1+z2-z3-2z4=0}

due sottospazi vettoriali di ℂ4. Trova equazioni parametriche e cartesiane per U e basi di V, U+V, U ∩ V esibisci inoltre un supplementare di U ∩ V in ℂ4

SOLUZIONE
Si verifica facilmente che i generatori di U sono linearmente indipendenti, e quindi dimU = 2. Come eq. parametriche per U possiamo prendere
{(z1=t1-t2),(z2=it2),(z3=t1-t2),(z4=t2):}
da cui si ricava
{(z1-z3=0),(z2-iz4=0):}
I vettori e1-e2, e1+e3, 2e1+e4 costituiscono una base per V, e quindi dim V=3.
Sostituendo nell'equazione cartesiana di V le eq. paraetriche per U otteniamo t2=0, (QUESTO PASSAGGIO NON E' INUTILE?????)

IL SEGUITO GRAZIE AI SUOI CONSIGLI MI RISULTA ESSERE CHIARO!!! GRAZIE

una base di U ∩ V è allora data da e1+e3
un supplementare W di U ∩ V è un sottospazio che deve avere dimensione 3 e dev'essere tale W ∩ (U ∩ V)=0.
Dunque basta trovare un sottospazio W descritto da una sola eq cartesiana e non contenente c1+c3. Per esempio W= {z∈ ℂ4 tale che z1=0} va bene.
Infine, il Teorema di Grassman implica che la dim di U+V è uguale a 4, per cui U+V=ℂ4 e una base per U+V è la base canonica di ℂ4

GRAZIE!!!!