Esercizio vettori

[andreat86]

Qualcuno sà dirmi arrivati a questo punto cosa devo fare?

Trova un vettore di lunghezza 3 ortogonale al vettore \( v =\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}-k \)
Quanti ce ne sono?

Io ho svolto cosi:

Un vettore \( \overrightarrow{w}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k} \) è ortogonale al vettore \( \overrightarrow{v} \) se e solo se il loro prodotto scalare si annulla, cioè se e solo se a+2b-c=0; ovvero c=a+2b;di conseguenza i vettori ortogonali a \( \overrightarrow{v} \) sono tutti e soli i vettori della forma \( \overrightarrow{w}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+(a+2b)\overrightarrow{k} \), con a, b ∈ R qualsiasi.
Adesso come faccio a specificare il fatto che il mio vettore \( \overrightarrow{w} \) ha lunghezza 3? e quanti ce ne sono?
Grazie

[Pierlu11]

Ti basta imporre che la norma di \( \overrightarrow{w} \) sia $3$, cioè \( \sqrt{a^2+b^2+(a+2b)^2}=3 \) .

[andreat86]

grazie Pierlu11, però in un esercizio simile il prof. aveva un vettore di lunghezza 1 e terminò dicendo:
Quindi esistono infiniti vettori di lunghezza 1 ortogonali a \( \overrightarrow{v} \) : sono tutti e soli i vettori della forma
\( \frac{1}{\left( √a^{2}+b^{2}+\left( a+2b \right)^{2} \right)} \) \( (a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+(a+2b)\overrightarrow{k} ) \)
con a, b \( \epsilon \) R non entrambi nulli.
Come trasformo nel mio caso con lunghezza 3?
Grazie

[Pierlu11]

Puoi moltiplicare per 3 l'espressione che ti ha proposto il professore se è quella la forma che vuole che scriviate. In questo modo però non si evidenzia la dipendenza da un solo parametro ma il risultato è lo stesso.