[Esercizio] Trovare una base di $ U nn W $
Vorrei cercare di capire come svolgere questo semplice esercizio. Non giudicate la mia ignoranza, imparerò anch'io 
Siano U e W due sottospazi di $ RR^4 $ così definiti:
$ U={(x,y,z,t) in RR^4 : 2x - 2y + z - t = 0 , 2y - z = 0 } $
$ W=L( (0,2,2,3) (1,1,0,1) (3,1,2,0) ) $
trovare una base di $ U nn W $ .
Come prima cosa, trovo una base di U. Essa è: $ L ( (1,0,0,2) (0,1,2,0) ) $ . Fatto ciò dovrei trovare un vettore (o più) che sia comune ad entrambi. Come ad esempio un vettore che in combinazione lineare con un altro me ne dia uno comune. Il fatto è che proprio non riesco a trovarlo!
Qualcuno può sbloccare questo passaggio? Grazie.
[ Vi pregherei anche di correggermi qualora avessi sbagliato qualcosa nell'inserimento del post ]
Siano U e W due sottospazi di $ RR^4 $ così definiti:
$ U={(x,y,z,t) in RR^4 : 2x - 2y + z - t = 0 , 2y - z = 0 } $
$ W=L( (0,2,2,3) (1,1,0,1) (3,1,2,0) ) $
trovare una base di $ U nn W $ .
Come prima cosa, trovo una base di U. Essa è: $ L ( (1,0,0,2) (0,1,2,0) ) $ . Fatto ciò dovrei trovare un vettore (o più) che sia comune ad entrambi. Come ad esempio un vettore che in combinazione lineare con un altro me ne dia uno comune. Il fatto è che proprio non riesco a trovarlo!
Qualcuno può sbloccare questo passaggio? Grazie.
[ Vi pregherei anche di correggermi qualora avessi sbagliato qualcosa nell'inserimento del post ]
Risposte
(è stato risposto mentre scrivevo)
Secondo me, ti conviene innanzitutto capire la dimensione di $U\capW$.
E questo puoi farlo con la formula di Grasmann (non è indispensabile ma può esserti utile per capire quanti vettori ti devi aspettare).
Poi scrivi le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi.
In questo caso per il primo non ci sono problemi, già ce l'hai.
Trova le equazioni del secondo.
Dopo aver fatto ciò, fai un unico grande sistema. L'insieme delle soluzioni ti descriverà il tuo sottospazio $U\cap W$. A questo punto basterà determinarne una base e il gioco sarà fatto.
E questo puoi farlo con la formula di Grasmann (non è indispensabile ma può esserti utile per capire quanti vettori ti devi aspettare).
Poi scrivi le equazioni cartesiane di entrambi i sottospazi.
In questo caso per il primo non ci sono problemi, già ce l'hai.
Trova le equazioni del secondo.
Dopo aver fatto ciò, fai un unico grande sistema. L'insieme delle soluzioni ti descriverà il tuo sottospazio $U\cap W$. A questo punto basterà determinarne una base e il gioco sarà fatto.
Ringrazio entrambi per le repentine risposte.
Ho seguito i procedimenti da voi proposti e mi trovo
Ora solo una piccola curiosità circa la formula di Grassmann. Ricordo essere:
$ dim ( U nn W ) = dim (U + W) - dim U - dim W $
Ora, la dimensione di U è 2, quella di W e 3 e quella della somma è 5 (?). Quindi la dimensione risultante dovrebbe esser 0. C'è qualcosa che non va, deve essere una mia lacuna.
Ho seguito i procedimenti da voi proposti e mi trovo
Ora solo una piccola curiosità circa la formula di Grassmann. Ricordo essere:
$ dim ( U nn W ) = dim (U + W) - dim U - dim W $
Ora, la dimensione di U è 2, quella di W e 3 e quella della somma è 5 (?). Quindi la dimensione risultante dovrebbe esser 0. C'è qualcosa che non va, deve essere una mia lacuna.
La formula di Grassmann è giusta.
Attenzione, però la dimensione di $U+W$ non è la somma della dimensioni di $U$ e $W$!
Anche perchè $U+V$ è sottospazio di $RR^4$, difficilmente avrà dimensione 5
Per calcolare la dimensione di $U+W$, prendi un insieme di vettori che generano $U$ e un insieme di vettori che generano $W$ e li unisci.
Avrai un certo numero di vettori che generalmente non sono linearmente indipendenti. Il numero massimo di vettori fra essi linearmente indipendenti darà la dimensione di $U+W$.
Attenzione, però la dimensione di $U+W$ non è la somma della dimensioni di $U$ e $W$!
Anche perchè $U+V$ è sottospazio di $RR^4$, difficilmente avrà dimensione 5
Per calcolare la dimensione di $U+W$, prendi un insieme di vettori che generano $U$ e un insieme di vettori che generano $W$ e li unisci.
Avrai un certo numero di vettori che generalmente non sono linearmente indipendenti. Il numero massimo di vettori fra essi linearmente indipendenti darà la dimensione di $U+W$.
"cirasa":
La formula di Grassmann è giusta.
Attenzione, però la dimensione di $U+W$ non è la somma della dimensioni di $U$ e $W$!
Anche perchè $U+V$ è sottospazio di $RR^4$, difficilmente avrà dimensione 5
Per calcolare la dimensione di $U+W$, prendi un insieme di vettori che generano $U$ e un insieme di vettori che generano $W$ e li unisci.
Avrai un certo numero di vettori che generalmente non sono linearmente indipendenti. Il numero massimo di vettori fra essi linearmente indipendenti darà la dimensione di $U+W$.
Giustissimo
e illuminante. Grazie mille!
Ciao, questo esercizio interessa anche a me, volevo approfittarne per chiedervi: come si risale alle equazioni cartesiane di un sottospazio?
Per W io ho trovato questa equazione $4t-3z-3y-x=0$ è giusta?
E poi un'altra cosa, che vuol dire questa frase:
Per W io ho trovato questa equazione $4t-3z-3y-x=0$ è giusta?
E poi un'altra cosa, che vuol dire questa frase:
(non è indispensabile ma può esserti utile per capire quanti vettori ti devi aspettare)
"GiovanniP":
Per W io ho trovato questa equazione $4t-3z-3y-x=0$ è giusta?
Purtroppo no, perchè il terzo vettore della base data di $W$, cioè $(3,1,2,0)$, non verifica questa equazione.
Per capire come si trova tale equazione, prova a cercare sul forum. Credo che ci siano molti thread a tal proposito.
"GiovanniP":
E poi un'altra cosa, che vuol dire questa frase:(non è indispensabile ma può esserti utile per capire quanti vettori ti devi aspettare)
Ricordo che stavamo cercando una base di $U\cap W$. Allora ho consigliato prima di trovare la dimensione di $U\cap W$ mediante la formula di Grasmann, che è facile, trovando che $"dim"(U\cap W$)=1$.
Poi ci si può buttare nei conti. Se, per esempio, troviamo una base di $U\cap W$ di 2 elementi, allora si può dire che abbiamo sbagliato in qualche punto, perchè ci aspettiamo una base formata da un solo elemento.
Trovare in anticipo la dimensione di $U\cap W$ non è indispensabile, ma serve per avere un ulteriore conferma sui conti che si fanno dopo.
Ok grazie sei stato molto chiaro, ultima cosa: quando trovo l'equazione dell'intersezione, qualche vettore di W e U deve per forza verificare l'equazione o non 'è detto?
Se intendi qualche vettore di una base di $U$, allora la risposta è no.
E' possibile che nessuno dei vettori di una base di $U$ sia in $U\cap W$.
Se intendi sapere se fra tutti i vettori di $U$ può esserci qualcuno che verifica le equazioni di $U cap W$, la risposta è ovviamente sì.
I vettori di $U\cap W\subset U$ ovviamente verificano le equazioni di $U\cap W$.
E' possibile che nessuno dei vettori di una base di $U$ sia in $U\cap W$.
Se intendi sapere se fra tutti i vettori di $U$ può esserci qualcuno che verifica le equazioni di $U cap W$, la risposta è ovviamente sì.
I vettori di $U\cap W\subset U$ ovviamente verificano le equazioni di $U\cap W$.
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