Esercizio: trovare autovalori ed autospazi

[lewis1]

Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali simmetriche di ordine 2.

Si consideri l'applicazione lineare $L : V rarr V$, definita da

$L ((a,b),(b,c)) = ((c,b),(b,a))$
Determinare autovalori ed autospazi di L. L è diagonalizzabile?

RISOLUZIONE
Dunque...io devo trovare i valori q tali che
$LV=qV$ dove q è un reale e V è della forma

$V((x),(y),(z))$.

Inizierei cercando la matrice associata all'applicazione, perciò come prima cosa valuto l'applicazione negli elementi della base canonica (forniti dalla traccia) cioè

$E_1= ((1,0),(0,0))$, $E_2= ((0,1),(1,0))$, $E_3= ((0,0),(0,1))$, e ottengo che

$L(E_1)= E_3$, $L(E_2)=E_2$ e $L(E_3)=L(E_1)$

$E_1 = 0E_1 + 0E_2 + 1E_3$
$E_2 = 0E_1 + 1E_2 + 0E_3$
$E_3 = 1E_1 + 0E_2 + 0E_3$

Trasponendo, trovo la matrice

$M_L=((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$

E' diagonalizzabile.

Ma ora gli autovalori e autovettori li devo calcolare per $M_L$ o per la matrice $((c,b),(b,a))$ ??

Io li ho calcolati per $M_L$ ma non sono sicura che sia la scelta giutsa...in ogni caso il determinante mi viene $(1-q)(q^2 -1)$, quindi gli autovalori sono
q=1 con molteplicità algebrica 2
q=-1 con m.a= 1

Ora dovrei scrivere l' autospazio...ma non capisco come fare.
Mi potete aiutare a proseguire (sempre che fin qui sia tutto giusto...)?

Grazie infinite

_L_

[misanino]

"lewis":Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali simmetriche di ordine 2.

Si consideri l'applicazione lineare $L : V rarr V$, definita da

$L ((a,b),(b,c)) = ((c,b),(b,a))$
Determinare autovalori ed autospazi di L. L è diagonalizzabile?

RISOLUZIONE
Dunque...io devo trovare i valori q tali che
$LV=qV$ dove q è un reale e V è della forma

$V((x),(y),(z))$.

Inizierei cercando la matrice associata all'applicazione, perciò come prima cosa valuto l'applicazione negli elementi della base canonica (forniti dalla traccia) cioè

$E_1= ((1,0),(0,0))$, $E_2= ((0,1),(1,0))$, $E_3= ((0,0),(0,1))$, e ottengo che

$L(E_1)= E_3$, $L(E_2)=E_2$ e $L(E_3)=L(E_1)$

$E_1 = 0E_1 + 0E_2 + 1E_3$
$E_2 = 0E_1 + 1E_2 + 0E_3$
$E_3 = 1E_1 + 0E_2 + 0E_3$

Trasponendo, trovo la matrice

$M_L=((0,0,1),(0,1,0),(1,0,0))$

E' diagonalizzabile.

Ma ora gli autovalori e autovettori li devo calcolare per $M_L$ o per la matrice $((c,b),(b,a))$ ??

Io li ho calcolati per $M_L$ ma non sono sicura che sia la scelta giutsa...in ogni caso il determinante mi viene $(1-q)(q^2 -1)$, quindi gli autovalori sono
q=1 con molteplicità algebrica 2
q=-1 con m.a= 1

Ora dovrei scrivere l' autospazio...ma non capisco come fare.
Mi potete aiutare a proseguire (sempre che fin qui sia tutto giusto...)?

Grazie infinite

_L_

Fin qui il procedimento è tutto giusto (i calcoli non li ho controllati).
Ed è giusto calcolare gli autovalori di $M_L$.
Ora dato un autovalore $\lambda$ per determinare l'autospazio ad esso associato devi trovare le matrici $((a,b),(b,c))$ tali che
$L ((a,b),(b,c))=\lambda ((a,b),(b,c))$ (cioè devi impostare un sistema)