Esercizio topologia (spazio di Hausdorff?)

[UgoFoscolo901]

Salve a tutti,
ho qualche dubbio nella risoluzione di questo esercizio:
Si considerino in $RR^2$ i due sottoinsiemi:
$S1$ = retta di equazione $y = 1$; $S2$ = retta di equazione $y = -1$;
e si introduca nel sottospazio $S = S1 uu S2 $ la seguente equivalenza ~
(x; 1) ~ (x';-1) $ hArr $ x = x' $!=$ 0:
a) Descrivere gli aperti saturi di $S$ relativamente alla proiezione nello
spazio quoziente Z = S/~.
b) $Z$ è di Hausdorff?
c) Mostrare che in Z esistono due sottospazi compatti $K1$ e $K2$ tale che
$K1$ \ $K2$ non è compatto.

In particolare non riesco a capire perchè Z non è di Hausdorff.

Grazie

[robbstark1]

Ci provo, anche perchè stamattina mi sono imbattuto proprio in un esercizio praticamente uguale.
Gli aperti saturi sono tali che se $(x,1)$ appartiene all'insieme, per un qualche $x!=0$, allora anche $(x,-1)$ appartiene all'insieme, e viceversa. Un aperto saturo può però contentere anche $(0,1)$ e non $(0,-1)$ per esempio.
Prendiamo adesso un intorno aperto del punto $(0,1)$. Questo deve essere del tipo ${(x,1),(x,-1): -epsilon Una cosa del genere accade se prendiamo un intorno del punto $(0,-1)$. Si vede che questi intorni non possono essere disgiunti, pertanto lo spazio quoziente con la topologia quoziente non è di Haussdorf.