Esercizio Topologia relativa

[Vanzan]

Dato $Y=(-infty;0] uu N sub R$ identificare gli aperti che non sono aperti in R.

Ho trovato $(-infty;0]$,$N$,e ogni insieme del tipo ${n},{n+1}..$ con $n in N$

E' giusto?

La seconda parte mi chiede di fare lo stesso con l'insieme $Y={(x,y) in R^2, y<= 0} uu {(x,y) in R^2, y= 1/n, n in N}$

Ho trovato
Y è aperto perchè è contenuto in $y<=2 sub R^2$ aperto.
L'insieme delle rette perchè è sottoinsieme di $0
E' giusto?
Grazie

[j18eos]

I Esercizio: ce ne mancano di aperti di \(X\) che non sono aperti di \((\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\)!

II Esercizio: facendomi un disegno mentale non mi trovo che \(Y\) sia un sottoinsieme aperto di \((\mathbb{R}^2;\mathcal{T}_{nat})\).

[Seneca1]

Per esempio $(0, 1/2) \in Y$ non è un punto interno a $Y$. Quindi $Y$ non può essere aperto.

[Vanzan]

Mmm ho le idee un po' confuse. Dato $(X,T)$ e $Y sub X$ Gli aperti nella topologia relativa di $Y$ sono i sottoinsiemi di $Y$ che sono dati dall'intersezione di Y con qualche aperto in X. Giusto?
Quindi nel secondo esercizio Y è aperto poichè è dato dall'intersezione di Y con l'aperto $ {(x,y) in R^2, y<2} sub R^2=X$
Forse ho scritto male la consegna?

Ps: mia ignoranza sulla notazione : $(T,nat)$ cosa significa?

[j18eos]

Che \(Y\) sia aperto in se stesso lo è per definizione di spazio topologico; tu affermi che \(Y\) è aperto in \(\mathbb{R}^2\)!?

[Vanzan]

No non affermo questo! devo trovare gli aperti in $Y$ associando la topologia relativa..

[j18eos]

Gli aperti di \(Y\) si determinano come hai scritto prima, ma non è che puoi elencarli!

Vuoi determinare una scrittura sintetica per descriverli tutti?

P.S.: con \(\mathcal{T}_{nat}\) indico la topologia naturale di \(\mathbb{R}^n\), insomma la topologia che solitamente si usa.

[Vanzan]

Ok. Il secondo esercizio mi chiede di trovare gli aperti in $(Y,Trel)$ che non sono aperti in $(R^2,Tnat)$
Il primo gli aperti in $(Y,Trel)$ che non sono aperti in $(R,Tnat)$.

[j18eos]

OK!

E secondo te chi sono gli altri aperti in \(Y\) ma non in \(\mathbb{R}^2\)? Descrivili a parole!

P.S.: il comando per scrivere i pedici è _{}; se non ci riesci a metterlo non ti preoccupare.

[Vanzan]

Ok grazie;)
Il primo è giusto? sono abbastanza sicuro su quello.
Sul secondo dovrebbe essere un insieme aperto anche ogni retta perchè potrei intersecarla con un aperto di $(R^2,T_{rel})$ del tipo $t

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[j18eos]

Ti mostro come si risolve il primo esercizio!

Indicato con \(X=]-\infty;0]\cup\mathbb{N}\) vuoi determinare i suoi insiemi aperti della topologia indotta da quella naturale di \(\mathbb{R}\) ma che non sono aperti secondo quest'ultima.
Innanzitutto noti che \(\{n\}\) sono insiemi aperti di \(X\) non aperti in \(\mathbb{R}\), poi puoi notare che \(X\cap]-\infty;1[=]-\infty;0]\) e quindi ottieni un altro aperto di \(X\) come richiesto, tutte le possibili unioni di tale aperto coi precedenti ti forniscono insiemi aperti di \(X\) non aperti in \(\mathbb{R}\).

Sai completare il primo esercizio dopo questo input?

Come utilizzare ciò persvolgere il secondo esercizio?

[Vanzan]

Scusa non si legge bene una parte:( grazie per la pazienza nè..
Mi sembra di dedurre quindi, riagganciandomi al primo post, che gli aperti di $Y$ sono ${n}$ e $(-infty;0]$ e tutte le possibili unioni giusto?

[j18eos]

"Vanzan":Scusa non si legge bene una parte ...

Boh!

Comunque la risposta è no, ci mancano ancora degli aperti; se tu avessi ragione allora sul sottoinsieme \(]-\infty;0]\) di \(X\) vi sarebbe la topologia banale \(\{]-\infty;0];\emptyset\}\), il che non è assolutamente vero.

[Vanzan]

Ahhh quindi ci sono anche tutti i sottoinsiemi del tipo $(-infty;a)$ con $a<0$ giusto?
Tendo a prendere i piu grandi e a dimenticarmi dei piu piccoli
Edit: Però scusa questi sono sottoinsiemi aperti di R. Quindi non li devo elencare.

[j18eos]

Sì, quelli sono anche aperti in \(\mathbb{R}\) ma come usarli per determinare aperti di \(X\) non aperti in \(\mathbb{R}\)?

Inoltre, ci mancherebbero ancora degli aperi di \(X\): se tu avessi concluso esattamente allora su \(]-\infty;0]\) vi sarebbe indotta da \(\mathbb{R}\) la topologia delle semirette aperte e sinistre!

P.S.: Non ti dimenticare i pezzi lungo la via.

[Vanzan]

Allora mi sono preso due giorni per pensarci su, per evitare di continuare a scrivere e di stressartiXD
Allora per quanto riguarda il primo esercizio sono giunto alla conclusione che sono aperti di $Y$ non aperti in $R$ sono:
$(-infty;0]$
$(-a;0]$, $a>0$ questi non li avevo visti
${n}, n in N$
E tutte le loro possibili unioni.
ora è giusto?

[j18eos]

No!

Ci mancano gli aperti in \(X\) ma non di \(\mathbb{R}\) del tipo \(]a;b[\cup\{n\}\) con \(n\in\mathbb{N};a,b<0\)!

Comunque bravo; come utilizzare lo stesso ragionamento per \(Y\)?

[Vanzan]

Per $Y$ intendi il secondo esercizio?
Se si suppongo che gli aperti di $Y$ non aperti in $R^2$ sono:
$y=1/n, n in N$
$a $y<= 0$ uu $y=1/m$.

Sull'ultimo ho fatto il seguente ragionamento: mi chiedo se $y<=0$ sia aperto quindi cerco di intersecarlo con un aperto di $R^2$ del tipo $y< delta,delta>0$. Ma per la proprietà archimedea esisterà un $m$ tale che$ 1/m
Ne segue che ci saranno anche $a

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[j18eos]

"Vanzan"::cry:
Per $Y$ intendi il secondo esercizio?...

Te la sei cercata Comunque sì, con \(Y\) intendo l'insieme descritto nel secondo esercizio!

Vedo che ci mancano ancora insiemi (affermazione presa modulo mal di testa), e ripeto il mio suggerimento: fatti un disegno.

[Vanzan]

Mmm mi è venuta un'illuminazione. Se interseco $Y$ con un sottoinsieme di $R^2$ contenuto in $y<=0$ come per esempio una palla aperta, un triangolo o qualsiasi altra figura che formi un sottoinsieme aperto di R^2 ottengo un sottoinsieme aperto di $Y$. Se aggiungo ad esso l'aperto $1/n$ che non è aperto in $R^2$, ottengo ancora un aperto in $Y$.

Quindi gli aperti di $(Y,T_{rel})$ non aperti in $(R^2,T_{nat})$ sono:
$1/n$,$n in N$.
$y<=0 uu 1/m$, per qualche $m in N$ (vedesi risposta precedente.)
$AA A sub {(x,y)|y<=0}$ aperto in $(R^2,T_{nat})$ $uu 1/n$.

[j18eos]

A parte la notazione incompleta, hai iniziato benissimo ma ti sei perso dei pezzi.