Esercizio topologia funzioni continue

process11
sono all'inizio dello studio di questa materia e ho un pò di dubbi, in particolare questo:
data la funzione $f: R->R$ tale che
$f=\{(x ,if x<0 ),(x+1 ,if x>=0):}$
dimostare che la funzione è continua se il codominio ha la topologia euclidea e il dominio ha questa topologia ${(a,+infty): a in R} $ unito a R e all'insieme vuoto.
dunque se noon ho capito male una funzione è continua se le controimmagini degli aperti del codominio sono aperti anche del dominio.
quindi in questo caso pasto $a
questo è $f^(-1)(a,b)=\{((a-1,b-1),if a>1),((b-1),if 01),(a ,if 0 l'insieme vuoto altrimenti. ora sicuramente avrò scritto delle stupidate qua, c'è qualcuno che volgia aiutarmi e correggere gli errori. anche per la conclusione perchè se fosse come ho scritto io non risulterebbe continua(almeno credo :))

Risposte
j18eos
I casi in cui [tex]$a>1$[/tex] e [tex]$b<0$[/tex] concordo con te, sugl'altri 2, al momento, non mi esprimo! Ma comunque così ottieni che la funzione è discontinua... Ma forse l'esercizio chiede di verificare o confutare la continuità? :?:

process11
allora la richiesta completa è:
Dimostrare che f è continua se il codominio ha la topologia euclidea ed il dominio ha la topologia $j_d$ chè è quella che ho scritto sopra....è l'esercizio 13 pag 41 del sernesi geometria 2 per intenderci ;) forse la controimmagine di $01$ è $(1,b-1)$???? il problema è la parte sinistra, se non va l'uno non so cosa metterci...forse $(-infty,b-1)$?

apatriarca
Considero per prima cosa l'immagine dell'applicazione $f$: $f(\RR) = \RR - [0, 1)$. L'immagine non è connessa, mentre lo è il dominio. Non esistono in effetti aperti disgiunti entrambi diversi dall'insieme vuoto e da $\RR$ nel dominio con la topologia considerata. Ma siccome l'immagine attraverso una funzione continua di un insieme connesso è connessa, la funzione $f$ non può essere continua. Ma anche sfruttando la definizione, senza passare per la connessione degli insiemi, si ha che se $a > 1$, $f^{-1}(a, b) = (a-1, b-1)$ che non è aperto nella topologia del dominio.

Se invece scambiamo i ruoli delle due topologie e abbiamo quindi che la topologia euclidea è nel dominio, e l'altra al codominio abbiamo una situazione diversa:
$f^{-1}(a, +infty) = {( (a-1 , +infty) \text{ se } a >= 1), ( (0 , +infty) \text{ se } 0 <= a < 1),( (a , +infty) \text{ se } a < 0):}$
$f^{-1}(RR) = RR$
In tutti questi casi si ha che la controimmagine di un aperto è un aperto e quindi $f$ è in questo caso continua.

process11
ah ok....ma quindi non ho capito questo:
la controimmagine di $f^(-1)(-2,+ infty)=(-2,+infty)$ è un'aperto nella topologia del codominio, ma anche nel dominio con la topologia euclidea?...gli aperti della topologia euclidea non erano quelli del tipo $(a,b)$ e basta?(forse è una domanda stupida,ma sono agli inizi :) )

apatriarca
Gli intervalli aperti sono una base per la topologia euclidea, non sono tutti gli aperti. Gli aperti della topologia euclidea si ottengono come unione (finita o infinita) di intervalli di questo tipo. In modo equivalente, gli aperti della topologia euclidea sono quei sottoinsiemi $A$ di $\RR$ tali che, per ogni $x \in A$, esiste un intervallo $(x - \delta, x + \delta) \subset A$ ($0 < \delta \in \RR$).

process11
ah volevo chiedere un altra cosa: nel primo caso, cioè quando il codominio ha la topoligia euclidea, quale era la controimmagine dell'aperto $(a,b)$ se $01$ ?perchè sopra avevo scritto due tre ipotesi ma non ho capito ancora quale è la cosa giusta...

apatriarca
È uguale alla controimmagine di $[1, b)$ perché non esistono valori $x$ del dominio per cui $f(x) \in (a, 1)$. Per cui la controimmagine è uguale a $[0, b-1)$.

process11
ok perfetto adesso è tutto chiaro...grazie :)

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