Esercizio topologia funzioni continue
sono all'inizio dello studio di questa materia e ho un pò di dubbi, in particolare questo:
data la funzione $f: R->R$ tale che
$f=\{(x ,if x<0 ),(x+1 ,if x>=0):}$
dimostare che la funzione è continua se il codominio ha la topologia euclidea e il dominio ha questa topologia ${(a,+infty): a in R} $ unito a R e all'insieme vuoto.
dunque se noon ho capito male una funzione è continua se le controimmagini degli aperti del codominio sono aperti anche del dominio.
quindi in questo caso pasto $a
questo è $f^(-1)(a,b)=\{((a-1,b-1),if a>1),((b-1),if 01),(a ,if 0 l'insieme vuoto altrimenti. ora sicuramente avrò scritto delle stupidate qua, c'è qualcuno che volgia aiutarmi e correggere gli errori. anche per la conclusione perchè se fosse come ho scritto io non risulterebbe continua(almeno credo
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data la funzione $f: R->R$ tale che
$f=\{(x ,if x<0 ),(x+1 ,if x>=0):}$
dimostare che la funzione è continua se il codominio ha la topologia euclidea e il dominio ha questa topologia ${(a,+infty): a in R} $ unito a R e all'insieme vuoto.
dunque se noon ho capito male una funzione è continua se le controimmagini degli aperti del codominio sono aperti anche del dominio.
quindi in questo caso pasto $a
questo è $f^(-1)(a,b)=\{((a-1,b-1),if a>1),((b-1),if 01),(a ,if 0 l'insieme vuoto altrimenti. ora sicuramente avrò scritto delle stupidate qua, c'è qualcuno che volgia aiutarmi e correggere gli errori. anche per la conclusione perchè se fosse come ho scritto io non risulterebbe continua(almeno credo

Risposte
I casi in cui [tex]$a>1$[/tex] e [tex]$b<0$[/tex] concordo con te, sugl'altri 2, al momento, non mi esprimo! Ma comunque così ottieni che la funzione è discontinua... Ma forse l'esercizio chiede di verificare o confutare la continuità?

allora la richiesta completa è:
Dimostrare che f è continua se il codominio ha la topologia euclidea ed il dominio ha la topologia $j_d$ chè è quella che ho scritto sopra....è l'esercizio 13 pag 41 del sernesi geometria 2 per intenderci
forse la controimmagine di $01$ è $(1,b-1)$???? il problema è la parte sinistra, se non va l'uno non so cosa metterci...forse $(-infty,b-1)$?
Dimostrare che f è continua se il codominio ha la topologia euclidea ed il dominio ha la topologia $j_d$ chè è quella che ho scritto sopra....è l'esercizio 13 pag 41 del sernesi geometria 2 per intenderci

Considero per prima cosa l'immagine dell'applicazione $f$: $f(\RR) = \RR - [0, 1)$. L'immagine non è connessa, mentre lo è il dominio. Non esistono in effetti aperti disgiunti entrambi diversi dall'insieme vuoto e da $\RR$ nel dominio con la topologia considerata. Ma siccome l'immagine attraverso una funzione continua di un insieme connesso è connessa, la funzione $f$ non può essere continua. Ma anche sfruttando la definizione, senza passare per la connessione degli insiemi, si ha che se $a > 1$, $f^{-1}(a, b) = (a-1, b-1)$ che non è aperto nella topologia del dominio.
Se invece scambiamo i ruoli delle due topologie e abbiamo quindi che la topologia euclidea è nel dominio, e l'altra al codominio abbiamo una situazione diversa:
$f^{-1}(a, +infty) = {( (a-1 , +infty) \text{ se } a >= 1), ( (0 , +infty) \text{ se } 0 <= a < 1),( (a , +infty) \text{ se } a < 0):}$
$f^{-1}(RR) = RR$
In tutti questi casi si ha che la controimmagine di un aperto è un aperto e quindi $f$ è in questo caso continua.
Se invece scambiamo i ruoli delle due topologie e abbiamo quindi che la topologia euclidea è nel dominio, e l'altra al codominio abbiamo una situazione diversa:
$f^{-1}(a, +infty) = {( (a-1 , +infty) \text{ se } a >= 1), ( (0 , +infty) \text{ se } 0 <= a < 1),( (a , +infty) \text{ se } a < 0):}$
$f^{-1}(RR) = RR$
In tutti questi casi si ha che la controimmagine di un aperto è un aperto e quindi $f$ è in questo caso continua.
ah ok....ma quindi non ho capito questo:
la controimmagine di $f^(-1)(-2,+ infty)=(-2,+infty)$ è un'aperto nella topologia del codominio, ma anche nel dominio con la topologia euclidea?...gli aperti della topologia euclidea non erano quelli del tipo $(a,b)$ e basta?(forse è una domanda stupida,ma sono agli inizi
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la controimmagine di $f^(-1)(-2,+ infty)=(-2,+infty)$ è un'aperto nella topologia del codominio, ma anche nel dominio con la topologia euclidea?...gli aperti della topologia euclidea non erano quelli del tipo $(a,b)$ e basta?(forse è una domanda stupida,ma sono agli inizi

Gli intervalli aperti sono una base per la topologia euclidea, non sono tutti gli aperti. Gli aperti della topologia euclidea si ottengono come unione (finita o infinita) di intervalli di questo tipo. In modo equivalente, gli aperti della topologia euclidea sono quei sottoinsiemi $A$ di $\RR$ tali che, per ogni $x \in A$, esiste un intervallo $(x - \delta, x + \delta) \subset A$ ($0 < \delta \in \RR$).
ah volevo chiedere un altra cosa: nel primo caso, cioè quando il codominio ha la topoligia euclidea, quale era la controimmagine dell'aperto $(a,b)$ se $01$ ?perchè sopra avevo scritto due tre ipotesi ma non ho capito ancora quale è la cosa giusta...
È uguale alla controimmagine di $[1, b)$ perché non esistono valori $x$ del dominio per cui $f(x) \in (a, 1)$. Per cui la controimmagine è uguale a $[0, b-1)$.
ok perfetto adesso è tutto chiaro...grazie
