Esercizio topologia e lettere latine (a grande richiesta)
Qualche tempo fa postai un esercizio in cui si chiedeva lo studio di alcuni insiemi rispetto alla connessione e alla compattezza e in quel post uscì fuori un commento sullo studio delle lettere latine, finalmente l'ho trovato e lo posto, con relativa soluzione, ovviamente siete invitati a correggerla e/o renderla più rigorosa:
Studiare le lettere X , Y , L ed M rispetto alla connessione e alla compattezza; provare che solo due di essi sono omeomorfi. Trovare la frontiera di Y in X.
SVOLGIMENTO:
X è connesso poichè unione di due segmenti connessi non disgiunti.
Y è connesso poichè unione di due segmenti connessi non disgiunti.
L ed M sono connessi poichè è omeomorfi a un segmento.
In $R^n$ sono compatti tutti e soli i chiusi e limitati, quindi X,Y,L ed M , non essendo chiusi, non sono compatti.
X è costituito da un unico punto di taglio che lo divide in 4 componenti connesse.
Y è costituito da un unico punto di taglio che lo divide in 3 componenti connesse, quindi X non è omeomorfo a Y.
L ha un punto di taglio che lo divide in due componenti connesse, dunque L non è omeomorfo ad X nè ad Y.
Visto che "essere omeomorfi" è una relazione di equivalenza , risulta essere transitiva e dunque, visto che, come detto in precedenza L ed M sono omeomorfi ad un segmento, L è omeomorfo ad M.
Si definisce frontiera di Y in X l'insieme dei punti p in S tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di X e almeno un punto di S-X.Quindi la frontiera di Y in X è il punto di taglio del punto precedente (graficamente lo si vede subito)
Studiare le lettere X , Y , L ed M rispetto alla connessione e alla compattezza; provare che solo due di essi sono omeomorfi. Trovare la frontiera di Y in X.
SVOLGIMENTO:
X è connesso poichè unione di due segmenti connessi non disgiunti.
Y è connesso poichè unione di due segmenti connessi non disgiunti.
L ed M sono connessi poichè è omeomorfi a un segmento.
In $R^n$ sono compatti tutti e soli i chiusi e limitati, quindi X,Y,L ed M , non essendo chiusi, non sono compatti.
X è costituito da un unico punto di taglio che lo divide in 4 componenti connesse.
Y è costituito da un unico punto di taglio che lo divide in 3 componenti connesse, quindi X non è omeomorfo a Y.
L ha un punto di taglio che lo divide in due componenti connesse, dunque L non è omeomorfo ad X nè ad Y.
Visto che "essere omeomorfi" è una relazione di equivalenza , risulta essere transitiva e dunque, visto che, come detto in precedenza L ed M sono omeomorfi ad un segmento, L è omeomorfo ad M.
Si definisce frontiera di Y in X l'insieme dei punti p in S tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di X e almeno un punto di S-X.Quindi la frontiera di Y in X è il punto di taglio del punto precedente (graficamente lo si vede subito)
Risposte
"biggest":
X è connesso poichè unione di due segmenti connessi non disgiunti.
Y è connesso poichè unione di due segmenti connessi non disgiunti.
L ed M sono connessi poichè omeomorfi a un segmento.
E fin qui tutto ok.
"biggest":
In $R^n$ sono compatti tutti e soli i chiusi e limitati, quindi X,Y,L ed M , non essendo chiusi, non sono compatti.
Perchè non sono chiusi?
"biggest":
X è costituito da un unico punto di taglio che lo divide in 4 componenti connesse.
Falso.
A parte gli estremi (che dobbiamo decidere se appartengono o no alla lettera), tutti i punti di \(X\) sono di taglio (infatti, eliminando dalla \(X\) un punto, l'insieme risultante è sconnesso); in particolare, eliminando il punto centrale si taglia \(X\) in quattro componenti connesse (i.e. i quattro "bracci" della lettera), mentre eliminando ogni altro punto si decompone la \(X\) in due componenti connesse.
"biggest":
Y è costituito da un unico punto di taglio che lo divide in 3 componenti connesse[...]
Falso.
A parte gli estremi (come sopra), tutti i punti di \(Y\) sono di taglio (come sopra); in particolare, eliminando il punto centrale si taglia \(Y\) in tre componenti connesse (come sopra), mentre eliminando ogni altro punto si ottengono due sole componenti connesse.
"biggest":
[...] quindi X non è omeomorfo a Y.
Giusto, ma si deve dire meglio.
Visto che eliminando i centri dalla due lettere si ottengono spazi topologici sconnessi con numeri diversi di componenti connessi, le lettere \(X\) ed \(Y\) non possono essere omeomorfe.
"biggest":
L ha un punto di taglio che lo divide in due componenti connesse [...]
Falso.
A parte gli estremi (come sopra), tutti i punti di \(L\) sono di taglio, e cancellando ognuno di essi si taglia \(L\) in due componenti connesse.
"biggest":
[...] dunque L non è omeomorfo ad X nè ad Y.
Giusto, ma si deve dir meglio (come sopra).
"biggest":
Visto che "essere omeomorfi" è una relazione di equivalenza , risulta essere transitiva e dunque, visto che, come detto in precedenza L ed M sono omeomorfi ad un segmento, L è omeomorfo ad M.
Esatto.
"biggest":
Si definisce frontiera di Y in X l'insieme dei punti p in S tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di X e almeno un punto di S-X.Quindi la frontiera di Y in X è il punto di taglio del punto precedente (graficamente lo si vede subito)
Esatto.
Aggiunta: Studiare le suddette proprietà anche per la lettera \(R\).
Allora, vediamo se ho capito.
R è connesso poichè è connesso per poligonale.
R non è compatto poichè non è chiuso (non contiene gli estremi).
R ha come punti di taglio solo i punti appartenenti ai "piedi" | e \ meno gli estremi (ho escluso quelli appartenenti a quella sorta di D perchè se li prendo al suo interno ottengo ancora un insieme connesso).
Tutti questi, presi singolarmente, dividono R in due componenti connesse. Se invece prendo come insieme di punti di taglio i due punti che congiungono i due segmenti a quella specie di D (meglio non lo so dire), ottengo che le componenti connesse sono 4.
R non è omeomorfo ne a L, nè ad M, nè ad X, nè ad Y.
R è connesso poichè è connesso per poligonale.
R non è compatto poichè non è chiuso (non contiene gli estremi).
R ha come punti di taglio solo i punti appartenenti ai "piedi" | e \ meno gli estremi (ho escluso quelli appartenenti a quella sorta di D perchè se li prendo al suo interno ottengo ancora un insieme connesso).
Tutti questi, presi singolarmente, dividono R in due componenti connesse. Se invece prendo come insieme di punti di taglio i due punti che congiungono i due segmenti a quella specie di D (meglio non lo so dire), ottengo che le componenti connesse sono 4.
R non è omeomorfo ne a L, nè ad M, nè ad X, nè ad Y.
Potremmo chiamare "tipo" di uno spazio topologico la sequenza crescente di componenti connesse degli spazi ottenuti togliendo un solo punto. Decidiamo che le lettere non contengono i loro punti estremi, quindi per esempio M ha tipo (2) e A ha tipo (1,2). E' ragionevole che spazi di tipo diverso non sono omeomorfi.
M, L hanno tipo (2);
X ha tipo (2,4);
Y ha tipo (2,3);
R ha tipo (1,2).
Quante sono le lettere maiuscole a meno di omeomorfismo?
M, L hanno tipo (2);
X ha tipo (2,4);
Y ha tipo (2,3);
R ha tipo (1,2).
Quante sono le lettere maiuscole a meno di omeomorfismo?
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