Esercizio Topologia Compattezza
Non mi è chiaro un esercizio del Checcucci. Il testo è questo:
Sia $X$ uno spazio di Hausdorff e $R$ una relazione di equivalenza in X, sia $p: X \rightarrow X/R$ la proiezione canonica, sia $K$ un compatto di $X$ tale che $p(K)=X/R$, sia $L$ la restrizione di $R$ a $K$. Se $X/R$ è di Hausdorff mostrare che $K/L$ e $X/R$ sono omeomorfi.
Ora, senza entrare nei dettagli io ho svolto l'esercizio costruendo l'applicazione $j$ indotta dall'identità $i:K \rightarrow X$, cioè, chiamando $p_1$ la proiezione canonica da $K$ a $K/L$ ho posto $j = p \circ i \circ p_1^{-1}$. Ho fatto vedere che è continua iniettiva e suriettiva e che è chiusa, e quindi che è omeomorfismo. Ora, nel mio svolgimento, non so se ho sbagliato, nel caso ve lo mostro, non ho usato il fatto che $X$ è di Hausdorff. E sinceramente non capisco questa ipotesi... Delucidazioni?? Grazie mille
Sia $X$ uno spazio di Hausdorff e $R$ una relazione di equivalenza in X, sia $p: X \rightarrow X/R$ la proiezione canonica, sia $K$ un compatto di $X$ tale che $p(K)=X/R$, sia $L$ la restrizione di $R$ a $K$. Se $X/R$ è di Hausdorff mostrare che $K/L$ e $X/R$ sono omeomorfi.
Ora, senza entrare nei dettagli io ho svolto l'esercizio costruendo l'applicazione $j$ indotta dall'identità $i:K \rightarrow X$, cioè, chiamando $p_1$ la proiezione canonica da $K$ a $K/L$ ho posto $j = p \circ i \circ p_1^{-1}$. Ho fatto vedere che è continua iniettiva e suriettiva e che è chiusa, e quindi che è omeomorfismo. Ora, nel mio svolgimento, non so se ho sbagliato, nel caso ve lo mostro, non ho usato il fatto che $X$ è di Hausdorff. E sinceramente non capisco questa ipotesi... Delucidazioni?? Grazie mille
Risposte
In generale \(\displaystyle p\) non è una funzione invertibile; però puoi notare che \(\displaystyle X/R\) è uno spazio compatto. Può essere di Hausdorff? E \(\displaystyle K/L\)?
Non ti seguo. Dimmi se sto sbagliando ma io ho fatto così:
Sappiamo che $p(K) = X/R$, dunque la restrizione a $K$ dell'equivalenza è tale che $x L y \Rightarrow i(x) R i(y)$ dunque l'identità $i:K \rightarrow X$ induce un'applicazione continua e bigettiva $t: K/L \rightarrow X/R$ Dunque basta dimostrare che tale applicazione è anche chiusa, osservo che $K/L$ è compatto perché immagine di un compatto tramite applicazione continua e $X/R$ è Hausdorff per ipoteso dunque la mappa è chiusa. Allora è omeomorfismo. Ma in questo ragionamento non mi sembra di aver usato il fatto che $X$ sia di Hausdorff.
Non so, forse se il quoziente è compatto e di Hausdorff $X$ deve necessariamente essere di Hausdorff?
Sappiamo che $p(K) = X/R$, dunque la restrizione a $K$ dell'equivalenza è tale che $x L y \Rightarrow i(x) R i(y)$ dunque l'identità $i:K \rightarrow X$ induce un'applicazione continua e bigettiva $t: K/L \rightarrow X/R$ Dunque basta dimostrare che tale applicazione è anche chiusa, osservo che $K/L$ è compatto perché immagine di un compatto tramite applicazione continua e $X/R$ è Hausdorff per ipoteso dunque la mappa è chiusa. Allora è omeomorfismo. Ma in questo ragionamento non mi sembra di aver usato il fatto che $X$ sia di Hausdorff.
Non so, forse se il quoziente è compatto e di Hausdorff $X$ deve necessariamente essere di Hausdorff?
Mi riferivo a questo
\[
X=[0,1],\,x,y\in X,\,x\sim y\iff x=y\lor x,y\in]a,b[\,\text{ove}\,0\leq a
\]
è uno spazio quoziente compatto ma non di Hausdorff!
"jJjjJ":inoltre
...ho posto $j = p \circ i \circ p_1^{-1}$...
"jJjjJ":La risposta è no, e.g.
...forse se il quoziente è compatto e di Hausdorff $ X $ deve necessariamente essere di Hausdorff?
\[
X=[0,1],\,x,y\in X,\,x\sim y\iff x=y\lor x,y\in]a,b[\,\text{ove}\,0\leq a
\]
è uno spazio quoziente compatto ma non di Hausdorff!
"jJjjJ":Ora ho capito: io concordo con te, e non ho usato l'ipotesi che \(\displaystyle X\) sia di Hausdorff; però mi sfugge solo il particolare che \(\displaystyle t\) sia continua...
... Ma in questo ragionamento non mi sembra di aver usato il fatto che $ X $ sia di Hausdorff...
No intendevo questo: forse se uno spazio quoziente $X/R$ è di Hausdorff e compatto allora $X$ è necessariamente hausdorff?
La risposta è no: sia \(\displaystyle X\) uno spazio topologico non di Hausdorff con finite componenti connesse (e.g.: l'unione disgiunta di due rette complesse affini, con la topologia di Zariski); le sue componenti connesse (in tali ipotesi) sono aperte e chiuse, e costituiscono una partizione \(\displaystyle\Pi\) di \(\displaystyle X\). Sia \(\displaystyle\sim\) la relazione di equivalenza su \(\displaystyle X\) corrispondente a \(\displaystyle\Pi\); si ha che \(\displaystyle X/\sim\) è uno spazio topologico con finiti punti chiusi, ovvero la sua topologia è quella discreta e perciò soddisfa l'assioma di Hausdorff, pur non essendo \(\displaystyle X\) di Hausdorff.
Tutto chiaro?
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