Esercizio topologia
sul piano $R^2$ si consideri la relazione di equivalenza
$xsimy$ se e solo se $x-y in Z^2$
e si consideri lo spazio topologico quoziente $X=R/sim$
Si provi che X è compatto,di Hausdorff e che $X =simS^1xS^1$
allora ovviamente non voglio che risolviate l'esercizio voi, ma volevo solo sapere come ci si deve approcciare a questo tipo di esercizi, tipo che ne so prendere la definizione di compatto e avanti....o qualcosa altro...poi se volete aiutarmi anche con questo es ben venga
$xsimy$ se e solo se $x-y in Z^2$
e si consideri lo spazio topologico quoziente $X=R/sim$
Si provi che X è compatto,di Hausdorff e che $X =simS^1xS^1$
allora ovviamente non voglio che risolviate l'esercizio voi, ma volevo solo sapere come ci si deve approcciare a questo tipo di esercizi, tipo che ne so prendere la definizione di compatto e avanti....o qualcosa altro...poi se volete aiutarmi anche con questo es ben venga
Risposte
A parte che dovrebbe essere [tex]$X=\mathbb{R}^2/_{\textasciitilde}$[/tex], dato che sto fuso potrebbe aiutarti lo studio dello spazio quoziente [tex]$X_1=\mathbb{R}/_{\#}$[/tex] ove [tex]$x;y\in\mathbb{R},\,x_{\#}y\iff x-y\in\mathbb{Z}$[/tex].
Considera che $RR^2//sim$ è omeomorfa a $RR//sim \times RR//sim$ e quindi il tutto equivale a dimostrare che $RR//sim$ è omeomorfa ad $S^1$ che è una cosa piuttosto standard.
si avete ragione è $R^2/sim$
mistake89, quello che hai scritto serve ha dimostrare che.......
mistake89, quello che hai scritto serve ha dimostrare che.......
Tutto ciò che serve. Infatti le proprietà di $S^1$ sono note.
Oppure se vuoi dimostrare le altre direttamente quello che ho scritto serve per dimostrare che lo spazio è omeomorfo a $S^1 \times S^1$
Oppure se vuoi dimostrare le altre direttamente quello che ho scritto serve per dimostrare che lo spazio è omeomorfo a $S^1 \times S^1$
scusa ma questo spazio $S^1$ ha anche un altro nome? o è conosciuto solo cosi??
Scusa, lungi da me fare il bacchettone, ma se non sai che $S^1$ è la circonferenza come fai a dimostrare l'omeomorfismo?
$S^1={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2=1}$, munita della topolgia di sottospazio di $RR^2$ con la topologia natuarle è omeomorfa a $RR//sim$ ove $sim$ è esattamente la relazione che hai introdotto tu.
$S^1={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2=1}$, munita della topolgia di sottospazio di $RR^2$ con la topologia natuarle è omeomorfa a $RR//sim$ ove $sim$ è esattamente la relazione che hai introdotto tu.
grazie, se avrò ancora bisogna per questo esercizio (di sicuro) scriverò buona giornata 
buona giornata
"mistake89":
Considera che $RR^2//sim$ è omeomorfa a $RR//sim \times RR//sim$
questo vale per ogni forma d'equivalenza??come si dimostra?
Se non erro (ora non riesco a controllare, che vado di fretta) se la surgezione canonica è aperta.
Se non ricevi risposte comunque, al più tardi domani, scrivo qualcosa in più a riguardo.
Se non ricevi risposte comunque, al più tardi domani, scrivo qualcosa in più a riguardo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo