Esercizio topologia

[anto_zoolander]

Hola, ho il seguente esercizio.
Devo considerare $X=RR^2$ e $T$ la famiglia composta da $emptyset,RR^2$ e al variare di $r>0$ gli insiemi $A_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2 Devo mostrare che $T$ è una topologia su $RR^2$ e trovare la chiusura di $H={(x,y) inRR^2:x*y=1}$

Chiaramente avendo $r,s>0$ se $r>s$ allora $A_s subseteqA_r$
Dunque in generale

$• emptyset,RR^2 inT$
$• A_s capA_r=A_(min{r,s}) inT$
$• bigcup_(j inI_n)A_j=A_(max{r_j}) inT$

Quindi è una topologia. Ora per risolvere l’esercizio ho visto prima chi fossero i chiusi
se $C$ è chiuso allora $RR^2setminusC$ è aperto ovvero $exists k inRR^+ :RR^2setminusC=A_k$

Pertanto $C=RR^2setminusA_k:=C_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2geqk^2}$
Chiaramente dovendo essere $Cl(H)$ un chiuso dovrà essere di quel tipo pertanto bisogna trovare $k inRR^+ :Cl(H)=C_k$
Chiaramente se $k>t$ allora $C_k subset C_t$

Dovendo essere $HsubseteqCl(H)$ tramite la disequazione $x^2+1/x^2geqk^2$ che deve essere vera per ogni $x ne0$ mi sono trovato che $ k in (0,sqrt2]$ e sarà proprio $Cl(H)=C_(sqrt2)$ visto che per $0C_(sqrt2)subsetC_k$
Mentre per $k>sqrt2$ si ha che $H$ non è contenuto in $C_k$. Pertanto $C_(sqrt2)$ è il minimo chiuso che contiene $H$

È il primo che faccio in merito, quindi potrei aver fatto errori banali anche se non ne trovo

[killing_buddha]

Mi sembra giusto.

Un buon esercizio quando si ha una topologia in mano è dimostrare le varie proprietà di separazione dello spazio che si ottiene: questo è T0, T1, T2, T3, T3¹/², T4, ...?

[otta96]

"anto_zoolander":$• bigcup_(j inI_n)A_j=A_(max{r_j}) inT$

Ragiona meglio su questo punto. E segui il consiglio di killing_buddha, che non fa male.

[anto_zoolander]

@otta
Ritieni che sia sbagliato?

[killing_buddha]

E' un po' impreciso; quel massimo non esiste sempre.

[anto_zoolander]

Chiaramente parlo di $max{r_1,...,r_n}$ che è un insieme finito. Dove quelli sarebbero $A_(r_j)={(x,y) inRR^2:x^2+y^2

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[otta96]

Qual è la definizione di topologia?

[anto_zoolander]

$T$ topologia su $X$ se

• unioni arbitrarie di aperti è aperta
• intersezione di due aperti è aperta
• l’insieme $X$ e il vuoto appartengono a $T$

Mi pare di averle mostrate tutte e tre.

[otta96]

"anto_zoolander": • unioni arbitrarie di aperti è aperta

E allora perché lo hai dimostrato solo per le unioni finite?

[killing_buddha]

Basta mettere sup invece di max e la dimostrazione è giusta, l'importante è che capisci l'improprietà di linguaggio.

[anto_zoolander]

In teoria $j inNN$ è arbitrario.
Non è richiesto che l’unione sia infinita, ma solo arbitraria, no?
Anche se nel caso di un’unione infinita questo $A_j$ finiscono per ‘avvicinarsi’ ad $RR^2$ che è sempre aperto

@killing
Certo il sup però lo consideriamo per un insieme infinito, pensavo bastasse dimostrarlo per una quantità arbitraria di indici.

[killing_buddha]

"anto_zoolander":In teoria $j inNN$ è arbitrario.
Non è richiesto che l’unione sia infinita, ma solo arbitraria, no?
Anche se nel caso di un’unione infinita questo $A_j$ finiscono per ‘avvicinarsi’ ad $RR^2$ che è sempre aperto

@killing
Certo il sup però lo consideriamo per un insieme infinito, pensavo bastasse dimostrarlo per una quantità arbitraria di indici.

No, sbaglieresti a considerarlo anche indicizzato dai naturali. L'assioma di chiusura per unione arbitraria significa chiusura per unione arbitraria, non per unione numerabile. Significa che dato un qualsiasi insieme di aperti \(\{U_i\mid i\in I\}\) l'unione $\bigcup U_i$ è un aperto.

E' che uno non ci pensa, ma gli insiemi sono tanti e sono grandi.

[anto_zoolander]

Beh si allora tu per $I$ non intendi un insieme di indici?
Comunque ho compreso, in pratica io ho dimostrato solo che vale nel caso in cui gli aperti sono in numero ‘finiti’ o comunque ‘nuberabili’, ma non ho detto nulla nel caso in cui per esempio gli aperti che considero non lo siano

[killing_buddha]

La dimostrazione che hai scritto va bene, con l'unica accortezza di specificare che, quando la successione dei raggi dei dischi non è limitata, quello che ti viene fuori è "tutto il piano". Formalmente non è del tutto corretto; dovresti dare un argomento preciso che ti permette di dire che se $r=\infty$ allora la palla di centro zero e raggio $\infty$ è tutto il piano (chiaramente non puoi darlo così).

Del resto questa imprecisione ha messo in luce che una cosa non ti è molto chiara, ossia il ruolo dell'insieme di indici di una famiglia di sottoinsiemi, o di aperti.

[anto_zoolander]

Infatti erroneamente ho associato l’indicizzazione di una famiglia per mezzo di numeri naturali. Avresti qualche dispensa in merito per (s)chiarirmi le idee?

[killing_buddha]

Ma in realta' no, e' sufficiente la definizione di topologia; e' che tu la interpreti male, perche' stai implicitamente pensando che non esistano insiemi piu' grandi di $NN$.

[anto_zoolander]

Dato un insieme $A$ e un insieme $I$ che diremo di indici, diremo che $I$ indicizza l’insieme $A$ se esiste una applicazione iniettiva $f:A->I$

Posso usare questa come definizione di indicizzazione di un insieme?

[killing_buddha]

"anto_zoolander":Dato un insieme $A$ e un insieme $I$ che diremo di indici, diremo che $I$ indicizza l’insieme $A$ se esiste una applicazione iniettiva $f:A->I$

Posso usare questa come definizione di indicizzazione di un insieme?

No: chiedere che sia iniettiva è troppo.

Puoi dare la definizione che vuoi, basta che sia equivalente a questa: una famiglia di insiemi indicizzata da $I$ è un funtore $I\to Set$. La mia definizione, per esempio, è equivalente a quest'altra: una famiglia di insiemi indicizzata da $I$ è una funzione $f : A\to I$. Dimostra che sono equivalenti!

[anto_zoolander]

ma se gli elementi di $A$ sono tutti distinti è pure buono che $f$ sia iniettiva
Mi lasci più esercizi tu di non so chi!

[dissonance]

"killing_buddha":[quote="anto_zoolander"]Dato un insieme $A$ e un insieme $I$ che diremo di indici, diremo che $I$ indicizza l’insieme $A$ se esiste una applicazione iniettiva $f:A->I$

Posso usare questa come definizione di indicizzazione di un insieme?

No: chiedere che sia iniettiva è troppo.

Puoi dare la definizione che vuoi, basta che sia equivalente a questa: una famiglia di insiemi indicizzata da $I$ è un funtore $I\to Set$. La mia definizione, per esempio, è equivalente a quest'altra: una famiglia di insiemi indicizzata da $I$ è una funzione $f : A\to I$. Dimostra che sono equivalenti![/quote]
Io dire che una indicizzazione di \(A\) è una funzione surgettiva \(I\to A\). Le categorie non le ho mai davvero studiate, se lo avessi fatto forse ne sarei diventato un entusiasta come kb, non so.

In ogni caso consiglio di leggere il primo capitolo del libro di topologia di Munkres.

[killing_buddha]

Anche la suriettività non serve; davvero, è un lemmino facile da impacchettare in un'equivalenza di categorie
\[
{\bf Set}^I \leftrightarrows {\bf Set}/I
\] ma alla fine questa tecnologia non serve, una funzione (_qualsiasi_ funzione) verso $I$ determina un'unica indicizzazione a dominio $I$. Poi possiamo discutere di cosa significa davvero, e a che livello di generalità questa caratterizzazione vale, ma questo è un altro discorso.