Esercizio topologia
Hola, ho il seguente esercizio.
Devo considerare $X=RR^2$ e $T$ la famiglia composta da $emptyset,RR^2$ e al variare di $r>0$ gli insiemi $A_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2
Chiaramente avendo $r,s>0$ se $r>s$ allora $A_s subseteqA_r$
Dunque in generale
$• emptyset,RR^2 inT$
$• A_s capA_r=A_(min{r,s}) inT$
$• bigcup_(j inI_n)A_j=A_(max{r_j}) inT$
Quindi è una topologia. Ora per risolvere l’esercizio ho visto prima chi fossero i chiusi
se $C$ è chiuso allora $RR^2setminusC$ è aperto ovvero $exists k inRR^+ :RR^2setminusC=A_k$
Pertanto $C=RR^2setminusA_k:=C_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2geqk^2}$
Chiaramente dovendo essere $Cl(H)$ un chiuso dovrà essere di quel tipo pertanto bisogna trovare $k inRR^+ :Cl(H)=C_k$
Chiaramente se $k>t$ allora $C_k subset C_t$
Dovendo essere $HsubseteqCl(H)$ tramite la disequazione $x^2+1/x^2geqk^2$ che deve essere vera per ogni $x ne0$ mi sono trovato che $ k in (0,sqrt2]$ e sarà proprio $Cl(H)=C_(sqrt2)$ visto che per $0C_(sqrt2)subsetC_k$
Mentre per $k>sqrt2$ si ha che $H$ non è contenuto in $C_k$. Pertanto $C_(sqrt2)$ è il minimo chiuso che contiene $H$
È il primo che faccio in merito, quindi potrei aver fatto errori banali anche se non ne trovo
Devo considerare $X=RR^2$ e $T$ la famiglia composta da $emptyset,RR^2$ e al variare di $r>0$ gli insiemi $A_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2
Chiaramente avendo $r,s>0$ se $r>s$ allora $A_s subseteqA_r$
Dunque in generale
$• emptyset,RR^2 inT$
$• A_s capA_r=A_(min{r,s}) inT$
$• bigcup_(j inI_n)A_j=A_(max{r_j}) inT$
Quindi è una topologia. Ora per risolvere l’esercizio ho visto prima chi fossero i chiusi
se $C$ è chiuso allora $RR^2setminusC$ è aperto ovvero $exists k inRR^+ :RR^2setminusC=A_k$
Pertanto $C=RR^2setminusA_k:=C_k={(x,y)inRR^2:x^2+y^2geqk^2}$
Chiaramente dovendo essere $Cl(H)$ un chiuso dovrà essere di quel tipo pertanto bisogna trovare $k inRR^+ :Cl(H)=C_k$
Chiaramente se $k>t$ allora $C_k subset C_t$
Dovendo essere $HsubseteqCl(H)$ tramite la disequazione $x^2+1/x^2geqk^2$ che deve essere vera per ogni $x ne0$ mi sono trovato che $ k in (0,sqrt2]$ e sarà proprio $Cl(H)=C_(sqrt2)$ visto che per $0
Mentre per $k>sqrt2$ si ha che $H$ non è contenuto in $C_k$. Pertanto $C_(sqrt2)$ è il minimo chiuso che contiene $H$
È il primo che faccio in merito, quindi potrei aver fatto errori banali anche se non ne trovo
Risposte
Il giorno in cui farò teoria delle categorie, so chi dovrò maledire.
Non sei il primo a dirmelo
Visto che ti sei prodigato nel farmi venire la curiosità, saresti così buono da consigliarmi due buoni libri(di cui preferibilmente almeno uno in italiano) di teoria delle categorie?
"anto_zoolander":
Visto che ti sei prodigato nel farmi venire la curiosità, saresti così buono da consigliarmi due buoni libri(di cui preferibilmente almeno uno in italiano) di teoria delle categorie?
È una cosa che interessa anche a me, è da un po' di tempo che vorrei cominciare a studicchiare la TDC, ma per ora mi sono letto solo qualche dispensina, niente di troppo serio. Un buon libro di riferimento è ciò che sto cercando.
EDIT: P. S. Anche per me vale che saprò chi maledire (se è) quando smatterò cercando di capire la TDC.
La scelta migliore è
In generale, dimentica i libri in italiano: matematica italiana = assemblea di scimmie che fanno equazioni differenziali.
Oh, e ovviamente: io ho scritto degli esercizi di teoria delle categorie.
Ma vi sono molti altri libri (in)decenti
Riehl, Emily. Category theory in context. Courier Dover Publications, 20
questo è molto vecchio, ma è quello su cui hanno studiato quasi tutti finora. La mia impressione è che ormai sia un po' troppo datato. E' stato tradotto in italiano (malissimo) da Bollati Boringhieri, ma io detengo l'ultima copia esistente in Italia. Non sto scherzando.
Mac Lane, Saunders. Categories for the working mathematician. Vol. 5. Springer Science & Business Media, 2013.
Questo libro ha un tenore enciclopedico (l'opera completa è in tre volumi, di cui il terzo praticamente infinito); è molto didattico ma anche dispersivo (c'è davvero tutto). Usalo se hai tempo. Ha delle brutte notazioni.
Borceux, Francis. Handbook of Categorical Algebra: Volume 1. Cambridge University Press, 1994.
In generale, dimentica i libri in italiano: matematica italiana = assemblea di scimmie che fanno equazioni differenziali.
Oh, e ovviamente: io ho scritto degli esercizi di teoria delle categorie.
"killing_buddha":
E' stato tradotto in italiano (malissimo) da Bollati Boringhieri, ma io detengo l'ultima copia esistente in Italia. Non sto scherzando.
Cosa?!?!?
https://www.amazon.it/Categorie-pratica ... 8833952673
C'è ancora qualche fondo di magazzino, ma stanno sparendo.
C'è ancora qualche fondo di magazzino, ma stanno sparendo.
[ot]Ma te come consideri la TDC? Mi spiego meglio: a che branca ti sentiresti di dire che appartiene? Algebra, logica, o che altro?
Mi rendo conto che probabilmente non è nessuna di queste in quanto è essa stessa a formare una branca assestante, ma se proprio dovessi dirne una per dare un'idea a uno che non ne sa nulla, ma conosce, diciamo, abbastanza algebra, logica, topologia, e eventualmente altro, che diresti?
Forse stiamo andando un po' OT, per questo l'ho messo.[/ot]
Mi rendo conto che probabilmente non è nessuna di queste in quanto è essa stessa a formare una branca assestante, ma se proprio dovessi dirne una per dare un'idea a uno che non ne sa nulla, ma conosce, diciamo, abbastanza algebra, logica, topologia, e eventualmente altro, che diresti?
Forse stiamo andando un po' OT, per questo l'ho messo.[/ot]
[ot]La teoria delle categorie è un modo di interpretare la matematica secondo un paradigma strutturalista. In questo senso non appartiene alla matematica, ma la sussume e tenta di spiegarla.
Non lo fa come lo fa la logica, perché dimostra risultati che pertengono alle teorie che cerca di spiegare.[/ot]
Non lo fa come lo fa la logica, perché dimostra risultati che pertengono alle teorie che cerca di spiegare.[/ot]
"killing_buddha":
https://www.amazon.it/Categorie-pratica-matematica-Saunders-McLane/dp/8833952673
C'è ancora qualche fondo di magazzino, ma stanno sparendo.
Ebbene, io ne ho una copia, e pure ingiallita
Riapro questo argomento per discutere della indicizzazione.
Detto che a quanto ho visto un insieme $I$ detto di indici, indicizza un insieme $X$ se esiste una mappa suriettiva $i:I->X$ che sia suriettiva.
Non avrebbe più senso imporla biunivoca?
L’idea è questa: prendiamo $i:I->X$ suriettiva.
Sia ora $y inX$ un certo elemento di $X$ e consideriamo $Y=i^(leftarrow)({y})subseteqI$ la sua fibra.
Per suriettività, tale fibra contiene almeno un indice.
• se la fibra è un singleton, allora prendiamo un altro elemento.
• se la fibra di ogni elemento è un singleton, allora la mappa è biunivoca(top)
Supponiamo che esista almeno un elemento la cui fibra non sia un singleton e sia esso $y$.
Sia ora $z in i^(leftarrow)({y})$ un elemento della fibra e consideriamo $(IsetminusY)cup{z}$
Notiamo che la restrizione $i:(IsetminusY)cup{z}->X$
È ancora una mappa suriettiva, ma non solo, la fibra di $y$ adesso contiene solo $z$
Non potendo procedere per induzione, come banana faccio a iterare il procedimento per tutti gli elementi del codominio affinché si abbia una mappa che indicizza $X$ biunivocamente?
Non ditemi di assumere l’assioma della scelta.....
Detto che a quanto ho visto un insieme $I$ detto di indici, indicizza un insieme $X$ se esiste una mappa suriettiva $i:I->X$ che sia suriettiva.
Non avrebbe più senso imporla biunivoca?
L’idea è questa: prendiamo $i:I->X$ suriettiva.
Sia ora $y inX$ un certo elemento di $X$ e consideriamo $Y=i^(leftarrow)({y})subseteqI$ la sua fibra.
Per suriettività, tale fibra contiene almeno un indice.
• se la fibra è un singleton, allora prendiamo un altro elemento.
• se la fibra di ogni elemento è un singleton, allora la mappa è biunivoca(top)
Supponiamo che esista almeno un elemento la cui fibra non sia un singleton e sia esso $y$.
Sia ora $z in i^(leftarrow)({y})$ un elemento della fibra e consideriamo $(IsetminusY)cup{z}$
Notiamo che la restrizione $i:(IsetminusY)cup{z}->X$
È ancora una mappa suriettiva, ma non solo, la fibra di $y$ adesso contiene solo $z$
Non potendo procedere per induzione, come banana faccio a iterare il procedimento per tutti gli elementi del codominio affinché si abbia una mappa che indicizza $X$ biunivocamente?
Non ditemi di assumere l’assioma della scelta.....
"anto_zoolander":
Detto che a quanto ho visto un insieme $I$ detto di indici, indicizza un insieme $X$ se esiste una mappa suriettiva $i:I->X$ che sia suriettiva.
Respira lentamente, e smetti di dire "suriettiva" xD
Non ricordo cosa volevi fare; non esiste nessun motivo per prendere la mappa $I\to X$ suriettiva, l'equivalenza di categorie è tra \({\bf Set}^I \) (i funtori da $I$, guardato come categoria piccola e discreta, verso \(\bf Set\)) e \({\bf Set}/I\) (la categoria delle funzioni di codominio $I$, che ha per morfismi gli ovvi tirangoli commutativi) senza ulteriori restrizioni; questa si realizza precisamente mandando una funzione $h : X\to I$ nella famiglia di insiemi \( \{h^\leftarrow(i)\}\), e una famiglia di insiemi \(\{A_i\}\) nella funzione \(\coprod_{i\in I} A_i \to I\) che manda $x\in A_i$ in $i\in I$.
Tu smettila di usare la teoria delle categorie. Non si capisce niente! 
Finiró per studiarla al fine di parlare la stessa lingua
Però in effetti l’ho scritto troppo
Quello che voglio dimostrare senza usare la teoria delle categorie è che ogni indicizzazione(quindi una mappa suriett***) realizza una mappa biunivoca, quindi arrivare a mostrare che siano equivalenti.
Finiró per studiarla al fine di parlare la stessa lingua
Però in effetti l’ho scritto troppo
Quello che voglio dimostrare senza usare la teoria delle categorie è che ogni indicizzazione(quindi una mappa suriett***) realizza una mappa biunivoca, quindi arrivare a mostrare che siano equivalenti.
Perché insisti a volerla suriettiva? Una indicizzazione di un insieme, parametrizzata da $I$, non è una mappa suriettiva verso $I$; è una qualsiasi mappa $h$ di codominio $I$, e l'indicizzazione è esattamente equivalente al dato della collezione delle fibre di $h$. Anche perché... cosa significa "collezione" se non "funzione"?
Ho detto solo questo, semplicemente in un linguaggio che permette di essere precisi, e di mostrare che anche il viceversa è vero; se tu mi dai un po' di insiemi, io ti dò una mappa (che ora è suriettiva, certo, ma questo è incidentale al fatto che puoi rimuovere da \(\coprod_{i\in I}A_i\) gli addendi vuoti) di codominio l'insieme di indici che ha per fibre sopra $i \in I$ esattamente $A_i$.
Ho detto solo questo, semplicemente in un linguaggio che permette di essere precisi, e di mostrare che anche il viceversa è vero; se tu mi dai un po' di insiemi, io ti dò una mappa (che ora è suriettiva, certo, ma questo è incidentale al fatto che puoi rimuovere da \(\coprod_{i\in I}A_i\) gli addendi vuoti) di codominio l'insieme di indici che ha per fibre sopra $i \in I$ esattamente $A_i$.
[ot]
Mi puoi spiegare il significato di questa affermazione che mi sembra interessantissima?[/ot]
"killing_buddha":
Non lo fa come lo fa la logica, perché dimostra risultati che pertengono alle teorie che cerca di spiegare.
Mi puoi spiegare il significato di questa affermazione che mi sembra interessantissima?[/ot]
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