Esercizio tipo esame (ultimo)

[indovina]

Questo è un ultimo esercizio tipo esame che sto svolgendo (almeno tento)
Sono gli ultimi chiarimenti che desidererei avere, ringraziando tutti della vostra pazienza.

Dati i vettori:
$a=(1,-1,0)$
$b=(2,-1,0)$
$c=(5,-1,0)$
$d=(0,1,1)$
$e=(0,-3,3)$
$f=(0,0,0)$

i)esibire una base e indicare le dimensioni dei sottospazi
$V=L(a,b,c)$

$W=L(d,e,f)$

trovare V inter W

e $V+W$

Esibisco una base che deve essere di generatori e linearmente indipendente.
Dunque se prendessi $a,b,c$ o $d,e,f$ non avrei una base, perchè sono linearmente dipendenti (determinante è $0$)
allora mi basta prendere tipo $a,d,f$ che fa base, perchè stanno a gradino.

Per sapere $W+V$ devo applicare la formula di Grassmann
ovvero: $Dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(VinterW)$
Io ora per trovarmi V inter W
ho fatto il sistema:

$x-y=0$
$2x-y=0$
$5x-y=0$
$y+z=0$
$-3y-3z=0$

mi viene l'unica soluzione banale $(0,0,0)$
quindi ''penserei'' che 1 soluzione equivale a dim V inter W = 1 (non so se è giusto).

Per le dim V e dim W io penserei che è 3 sia per V che per W, perchè sono generati da 3 vettori...
Dunque applicando la formula, verrebbe che $Dim(V+W)=5$


ii) dire se tra i sottospazi V,W VinterW ve ne sono due isomorfi
Io direi subito VinterW perchè c'è proprio il Kerf = 0 (per il secondo teorema di equivalenza....)
Ma non so se va bene o meno.

Qualche suggerimento o precisazione?
Grazie

[mistake89]

"clever":
$V=L(a,b,c)$
$W=L(d,e,f)$
Dunque se prendessi $a,b,c$ o $d,e,f$ non avrei una base, perchè sono linearmente dipendenti (determinante è $0$)
allora mi basta prendere tipo $a,d,f$ che fa base, perchè stanno a gradino.

Sì è giusta la tua considerazione, ma non è che puoi arbitrariamente prendere i vettori che decidi tu. Semplicemente se i $3$ vettori sono linearmente dipendenti, ne "elimini" uno ed avrai una base. Oppure prova a calcolarti le equazioni di $V$ e $W$ e da lì estrai una base. Ma ciò che hai fatto tu è sbagliato.

e di conseguenza rivedi tutto l'esercizio!

[indovina]

Si, ho sbagliato a calcolare le dimensioni,
Dim (V+W)=3
DimV=2
DimW=1
DimWinterV=0

Non c'è ne sono di sottospazi isomorfi.
Anche se direi che solo WinterV è isomorfo, perchè c'è il $Kerf=0$ giusto?

[mistake89]

sì ma isomorfo a chi?!

Ti ricordo che due spazi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione!

[indovina]

Questa è la domanda.
Dice ''dire se tra i sottospazi V, W e WinterV ce ne sono due isomorfi.
Quindi, non ce ne sono...credo

[mistake89]

Non ho controllato i calcoli, ma se le dimensioni sono quelle che hai postato allora direi che è giusta la conclusione.

Anche se non ho capito la storia del $ker$ cui accennavi

[indovina]

Ti spiego.
Avevo visto che $f=(0,0,0)$ pensavo che il kerf = 0
erroneamente ho pensato che al vedere di un vettore banale, c'entrasse il ker di mezzo
Ho rifatto i calcoli, sulle dimensioni mi trovo.
Io ho fatto come hai deto tu.
Di V un sistema e mi trovo una base
Di W stesso ragionamento
e VinterW l'intersezione di tutto, viene un sistema incompatibile e dunque è $0$
$Dim(V+W)=3$ perchè stiamo in $R^3$
giusto come ragionamento?

[mistake89]

Facciamo così, a me pare, ad occhio, che la dimensione di $V$ e $W$ sia $2$ per entrambi... posta i calcoli e poi controlliamo insieme!