Esercizio tipo esame
Salve ragazzi vi propongo un test tipo esame per capire se ho risolto bene i conti ed eventualmente di correggere i relativi errori.
$ \cdot $ La matrice A, canonicamente associata ad un endomorfismo f di $ R^3 $ , ha autovalori 2, 3 e 4.
i. Si può stabilire se f `e diagonalizzabile?
ii. Si può calcolare il determinante di A?
iii. Si può stabilire se f `e iniettiva o suriettiva?
iv. Si può stabilire il valore di $ det(A^T) · det(A^-1) + det(A × A^T) $ ?
v. Se A `e simmetrica, si può stabilire se `e la matrice associata ad un prodotto interno che ammette vettori isotropi?
i.Visto che gli autovalori sono 2 ,3 e 4 e sono distinti tra di loro vuol dire che il polinomio caratteristico è del tutto scomponibile quindi A è diagonalizzabile.
ii.Visto che il $ p(lambda )=det(A-lambdaI) $ quindi il determinante sarà sicuramente calcolabile
iii. Visto che noi poniamo il determinante unuale a zero e quindi $Kern(A-lambdaI) =0 $ la matrice sarà inettiva
qui mi so bloccato ahahha Non so nemmeno se quello che ho fatto prima è giusto o se dovevo calcolarmi la matrice associata
Questo è il secondo problema del compito:
$ \cdot $ Discutere la diagonalizzabilita dell’endomorfismo di $ R^2 $ canonicamente associato alla matrice A= $ ( ( 1 , -1 ),( 1 , k ) ) $ al variare del parametro k. Fatto ciò porre $ k=3 $ e determinare la base di ciascun autospazio.
ho fatto $ p(lambda)=( ( 1-lambda , -1 ),( 1 , k-lambda ) ) =(1-lambda)(k-lambda)+1 $ visto che il polinomio caratteristico non è scomponibile la matrice non è diagonalizzabile ne per $ k=1 $ ne per $ k =-1 $ .Mentre per la ricerca degli autospazi mi sono trovato il polinomio caratteristico che è $ (lambda-1)^2 $ e poi attraverso gli autovalori mi sono trovato l'autospazio generato
$ \cdot $ La matrice A, canonicamente associata ad un endomorfismo f di $ R^3 $ , ha autovalori 2, 3 e 4.
i. Si può stabilire se f `e diagonalizzabile?
ii. Si può calcolare il determinante di A?
iii. Si può stabilire se f `e iniettiva o suriettiva?
iv. Si può stabilire il valore di $ det(A^T) · det(A^-1) + det(A × A^T) $ ?
v. Se A `e simmetrica, si può stabilire se `e la matrice associata ad un prodotto interno che ammette vettori isotropi?
i.Visto che gli autovalori sono 2 ,3 e 4 e sono distinti tra di loro vuol dire che il polinomio caratteristico è del tutto scomponibile quindi A è diagonalizzabile.
ii.Visto che il $ p(lambda )=det(A-lambdaI) $ quindi il determinante sarà sicuramente calcolabile
iii. Visto che noi poniamo il determinante unuale a zero e quindi $Kern(A-lambdaI) =0 $ la matrice sarà inettiva
qui mi so bloccato ahahha Non so nemmeno se quello che ho fatto prima è giusto o se dovevo calcolarmi la matrice associata
Questo è il secondo problema del compito:
$ \cdot $ Discutere la diagonalizzabilita dell’endomorfismo di $ R^2 $ canonicamente associato alla matrice A= $ ( ( 1 , -1 ),( 1 , k ) ) $ al variare del parametro k. Fatto ciò porre $ k=3 $ e determinare la base di ciascun autospazio.
ho fatto $ p(lambda)=( ( 1-lambda , -1 ),( 1 , k-lambda ) ) =(1-lambda)(k-lambda)+1 $ visto che il polinomio caratteristico non è scomponibile la matrice non è diagonalizzabile ne per $ k=1 $ ne per $ k =-1 $ .Mentre per la ricerca degli autospazi mi sono trovato il polinomio caratteristico che è $ (lambda-1)^2 $ e poi attraverso gli autovalori mi sono trovato l'autospazio generato
Risposte
Mmmh, mi sa che hai compreso male il primo problema...
i) La matrice è diagonalizzabile dato che ammette tre autovalori distinti
ii) Si può calcolare il determinante della matrice, ma non per quello che dici te, infatti bisogna calcolare il determinante di $A$ non di $A-lambdaI$, e si può calcolare perché i coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice hanno particolari valori.
iii) Dato che dalla ii) possiamo sapere il determinante della matrice, se esso è nullo allora non è iniettiva nè suriettiva, se è nullo è sia inettivo che suriettivo.
iv) $det(A^t)*det(A^(-1))=det(A)*det(A^(-1))=det(A*A^(-1))=det(I)=1$
$det(A*A^t)=det(A)*det(A^t)=det(A)*det(A)=det(A)^2$
Quindi la risposta è si
v) Qua non ti so aiutare
Riguardo al secondo problema, chi ti ha detto cbe quel polinomio non è scomponibile? Lo è eccome.
i) La matrice è diagonalizzabile dato che ammette tre autovalori distinti
ii) Si può calcolare il determinante della matrice, ma non per quello che dici te, infatti bisogna calcolare il determinante di $A$ non di $A-lambdaI$, e si può calcolare perché i coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice hanno particolari valori.
iii) Dato che dalla ii) possiamo sapere il determinante della matrice, se esso è nullo allora non è iniettiva nè suriettiva, se è nullo è sia inettivo che suriettivo.
iv) $det(A^t)*det(A^(-1))=det(A)*det(A^(-1))=det(A*A^(-1))=det(I)=1$
$det(A*A^t)=det(A)*det(A^t)=det(A)*det(A)=det(A)^2$
Quindi la risposta è si
v) Qua non ti so aiutare
Riguardo al secondo problema, chi ti ha detto cbe quel polinomio non è scomponibile? Lo è eccome.
Ho risolto i dubbi sul primo problema 
peccato per l'ultima . Invece il secondo problema come lo scomponi il polinomio ?
peccato per l'ultima . Invece il secondo problema come lo scomponi il polinomio ?
Sia $x^2+px+q$ un polinomio di secondo grado, e siano $alpha$ e $beta$ le sue radici, allora tale polinomio si scompone come $(x-alpha)(x-beta)$
O forse ho capito male io quello cbe intendevi tu? Cioè tu hai concluso che per nessun valore di k quella matrice ha autovalori perché "non è scomponibile"?
"Vulplasir":
O forse ho capito male io quello cbe intendevi tu? Cioè tu hai concluso che per nessun valore di k quella matrice ha autovalori perché "non è scomponibile"?
Si ora non so se ho sbagliato per ciò l'ho postato
Il fatto della scomponibilità è una cosa a posteriori, ossia, la scomponibilità è una conseguenza del fatto che il polinomio abbia o no soluzioni reali. Quindi, condizione sufficiente affinché una matrice quadrata di ordine n sia diagonalizzabile, è che abbia n autovalori reali distinti, ossia, il polinomio caratteristico si può scomporre in n fattori di primo grado, per il teorema di Ruffini. Pertanto, dato il polinomio (1-lambda)(k-lamda)+1, devi trovare le sue radici per dire se è scomponibile o no, non puoi dirlo a priori. Quel polinomio svolgendo i calcoli diventa $lamda^2-lamda(k+1)+k+1$, le cui soluzioni sono:
$lamda=(k+1+-sqrt((k+1)(k-3)))/2$
Quindi, per i k per i quali la quantità sotto radice è positiva i lambda sono reali e pertanto per quei valori di k la matrice è diagonalizzabile, proprio perché ha due soluzione e per ruffinni quel polinomio si scompone con 2 termini di primo grado.
$lamda=(k+1+-sqrt((k+1)(k-3)))/2$
Quindi, per i k per i quali la quantità sotto radice è positiva i lambda sono reali e pertanto per quei valori di k la matrice è diagonalizzabile, proprio perché ha due soluzione e per ruffinni quel polinomio si scompone con 2 termini di primo grado.
Quindi una volta determinato il dominio in cui il delta è maggiore di zero, devi discutere le due soluzioni, quando sono diverse tra loro allora per la condizione suficiente che ti ho detto la matrice è diagonalizzabile. Quando invece le soluzioni sono coincidenti allora non puoi usare la condizione sufficiente di diagonalizzabilità, ma devi usare quella necessaria e sufficiente.
Ahh ora si è tutto chiaro Grazie mille sei un grande 
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