Esercizio tetraedro regolare
Ciao,
ho incontrato qualche difficolta' nel risolvere questo esercizio.
"Nel tetraedro regolare di spigolo 6 situato nel primo ottante di un sistema cartesiano ortogonale, di coordinate x, y,
z, in modo che un vertice cada nell'origine, uno spigolo sull'asse delle ascisse ed una faccia sul
piano xy, determinare la probabilità che i tre numeri risultanti da tre lanci di un dado, con facce numerate da 1 a 6 rappresentino le coordinate di un punto interno al tetraedro."
Per rappresentare genericamente un punto interno al tetraedro ho pensato di utilizzare le coordinate baricentriche ma poi non so come andare avanti. In particolare, ottengo:
\(\displaystyle xp=6*\lambda_2 + 3*\lambda_3 + 3*\lambda_4 \)
\(\displaystyle yp=3*\sqrt(3)*\lambda_3 + \sqrt(3)*\lambda_4 \)
\(\displaystyle zp=2*\sqrt(6)*\lambda_4 \)
dove \(\displaystyle (xp, yp, zp) \) sono le coordinate del punto P e \(\displaystyle \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 \) sono le coordinate baricentriche che appartengono all'intervallo \(\displaystyle [0;1] \) e sono tali che \(\displaystyle \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4=1 \).
Questo sistema potrebbe servire per verificare se il punto e' interno o meno al tetraedro, ma vorrei evitare di fare la verifica per tutte le \(\displaystyle 6^3 \) combinazioni possibili per trovare i casi favorevoli.
Qualcuno ha qualche idea migliore su come procedere?
Grazie!
ho incontrato qualche difficolta' nel risolvere questo esercizio.
"Nel tetraedro regolare di spigolo 6 situato nel primo ottante di un sistema cartesiano ortogonale, di coordinate x, y,
z, in modo che un vertice cada nell'origine, uno spigolo sull'asse delle ascisse ed una faccia sul
piano xy, determinare la probabilità che i tre numeri risultanti da tre lanci di un dado, con facce numerate da 1 a 6 rappresentino le coordinate di un punto interno al tetraedro."
Per rappresentare genericamente un punto interno al tetraedro ho pensato di utilizzare le coordinate baricentriche ma poi non so come andare avanti. In particolare, ottengo:
\(\displaystyle xp=6*\lambda_2 + 3*\lambda_3 + 3*\lambda_4 \)
\(\displaystyle yp=3*\sqrt(3)*\lambda_3 + \sqrt(3)*\lambda_4 \)
\(\displaystyle zp=2*\sqrt(6)*\lambda_4 \)
dove \(\displaystyle (xp, yp, zp) \) sono le coordinate del punto P e \(\displaystyle \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 \) sono le coordinate baricentriche che appartengono all'intervallo \(\displaystyle [0;1] \) e sono tali che \(\displaystyle \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4=1 \).
Questo sistema potrebbe servire per verificare se il punto e' interno o meno al tetraedro, ma vorrei evitare di fare la verifica per tutte le \(\displaystyle 6^3 \) combinazioni possibili per trovare i casi favorevoli.
Qualcuno ha qualche idea migliore su come procedere?
Grazie!
Risposte
Intanto tieni conto che il dado non da mai zero, ma un vertice del t. è nell'origine.
Detto ciò direi che non c'è modo di sfuggire a un conteggio sistematico punto per punto.
Il fatto è che non serve verificare 216 punti. Molti punti sono palesemente fuori.
Io eseguirei delle sezioni del tetraedro a z=1, poi z=2, ecc...
Per ciascuna sezione si fa un disegno e si guarda chi cade dentro e chi no (calcolandolo, non andando ad occhio
).
Secondo me ci saranno una trentina di punti dentro al tetraedro, nulla di impossibile.
PS. Esiste una formulina per sapere se un punto sta "sopra" o "sotto" a una linea.
Detto ciò direi che non c'è modo di sfuggire a un conteggio sistematico punto per punto.
Il fatto è che non serve verificare 216 punti. Molti punti sono palesemente fuori.
Io eseguirei delle sezioni del tetraedro a z=1, poi z=2, ecc...
Per ciascuna sezione si fa un disegno e si guarda chi cade dentro e chi no (calcolandolo, non andando ad occhio
).Secondo me ci saranno una trentina di punti dentro al tetraedro, nulla di impossibile.
PS. Esiste una formulina per sapere se un punto sta "sopra" o "sotto" a una linea.
Grazie molte per la tua risposta!
In effetti, provando un po' di combinazioni ho trovato 20 combinazioni possibili di xp, yp e zp sul totale di 216. Quindi la probabilita' dovrebbe essere del 9%.
In effetti, provando un po' di combinazioni ho trovato 20 combinazioni possibili di xp, yp e zp sul totale di 216. Quindi la probabilita' dovrebbe essere del 9%.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo