Esercizio teorema spettrale.
Salve ragazzi , ho questo quesito :
Si consideri la forma bilineare simmetrica $\phi : RR^2 \times RR^2 -> RR$ t.c la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche è :
$G=((5,2),(2,1))$
e sia $f$ l'endomorfismo di $RR^2$ tale che $f((x,y))=(-3x+3y,7x-7y)$
a) provare che $\phi$ è un prodotto scalare.
b) provare che $f$ è un endomorfismo auto aggiunto e trovare una base ortonormale di $V$ composta da autovettori per $f$,
c) mostrare che $f$ non è autoaggiunto rispetto a $g_0$ , prodotto scalare standard.
svolgimento :
a) Per questo punto non ci sono problemi. Notando che i minori $M_1 = |5| =5>0 , M_2 = det(G) >0$ , per una nota caratterizzazione, si ha che $G$ è scalare.
b) Per provare che $f$ è auto aggiunto, fisso $B_c$ la base canonica di $RR^2$ e provo che $AA i,j \in {1,2} : \phi(e_i,f(e_j))=\phi(f(e_i),e_j)$.
Per $i=j$ è ovvio, perché $\phi$ è simmetrica.
Per $i!=j$ si ha che $\phi(e_1,f(e_2))=1=\phi(f(e_1),e_2)$.
Pertanto $f$ è autoaggiunto e quindi per il teorema spettrale ha senso cercare una base ortonormale costituita da autovettori.
Detta $A=((-3,3),(7,-7))$ la matrice associata ad $f$ rispetto a $B_c$ si ha che ha come autovalori $\lambda_1 =0 , \lambda_2 = -10$.
Determino gli autospazi ed ho che
$V_ (\lambda_1)= < (1,1)>$ e $V_(\lambda_2)=<(-3/2,1)>$
Pongo $B= { u_1=(1,1), u_2=(-3/2,1)}$ base di autovettori per $f$.
A partire da questa ne cerco una ortogonale utilizzando Gram Schmith.
(mi accorgo che i due vettori sono ortogonali, quindi posso anche passare oltre) (*)
La base dell'esercizio sarà dunque $B' = {( u_1)/ ||u_1|| , (u_2) / ||u_2||}$
L'ultima parte dell'esercizio è abbastanza semplice, quindi la ometto.
Vi sembra tutto corretto?
(*) è solo un caso? Perché non mi sembra che il teorema spettrale dica che la base di autovettori ottenuta sia di sua natura ortogonale.. anzi , da quel che ho capito, il teorema dice in buona sostanza che , se valgono tutte le ipotesi, e si ha una base di autovettori, ortogonormalizzandola , si ha una base di autovettori i cuoi vettori sono a due a due ortogonali e di norma uno , in soldoni... o sbaglio? ( spero di essermi spiegato :/ )
grazie
Si consideri la forma bilineare simmetrica $\phi : RR^2 \times RR^2 -> RR$ t.c la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche è :
$G=((5,2),(2,1))$
e sia $f$ l'endomorfismo di $RR^2$ tale che $f((x,y))=(-3x+3y,7x-7y)$
a) provare che $\phi$ è un prodotto scalare.
b) provare che $f$ è un endomorfismo auto aggiunto e trovare una base ortonormale di $V$ composta da autovettori per $f$,
c) mostrare che $f$ non è autoaggiunto rispetto a $g_0$ , prodotto scalare standard.
svolgimento :
a) Per questo punto non ci sono problemi. Notando che i minori $M_1 = |5| =5>0 , M_2 = det(G) >0$ , per una nota caratterizzazione, si ha che $G$ è scalare.
b) Per provare che $f$ è auto aggiunto, fisso $B_c$ la base canonica di $RR^2$ e provo che $AA i,j \in {1,2} : \phi(e_i,f(e_j))=\phi(f(e_i),e_j)$.
Per $i=j$ è ovvio, perché $\phi$ è simmetrica.
Per $i!=j$ si ha che $\phi(e_1,f(e_2))=1=\phi(f(e_1),e_2)$.
Pertanto $f$ è autoaggiunto e quindi per il teorema spettrale ha senso cercare una base ortonormale costituita da autovettori.
Detta $A=((-3,3),(7,-7))$ la matrice associata ad $f$ rispetto a $B_c$ si ha che ha come autovalori $\lambda_1 =0 , \lambda_2 = -10$.
Determino gli autospazi ed ho che
$V_ (\lambda_1)= < (1,1)>$ e $V_(\lambda_2)=<(-3/2,1)>$
Pongo $B= { u_1=(1,1), u_2=(-3/2,1)}$ base di autovettori per $f$.
A partire da questa ne cerco una ortogonale utilizzando Gram Schmith.
(mi accorgo che i due vettori sono ortogonali, quindi posso anche passare oltre) (*)
La base dell'esercizio sarà dunque $B' = {( u_1)/ ||u_1|| , (u_2) / ||u_2||}$
L'ultima parte dell'esercizio è abbastanza semplice, quindi la ometto.
Vi sembra tutto corretto?
(*) è solo un caso? Perché non mi sembra che il teorema spettrale dica che la base di autovettori ottenuta sia di sua natura ortogonale.. anzi , da quel che ho capito, il teorema dice in buona sostanza che , se valgono tutte le ipotesi, e si ha una base di autovettori, ortogonormalizzandola , si ha una base di autovettori i cuoi vettori sono a due a due ortogonali e di norma uno , in soldoni... o sbaglio? ( spero di essermi spiegato :/ )
grazie
Risposte
Non ho fatto conti, ma la logica della procedura mi sembra corretta. Però il fatto che gli autovettori ti siano venuti ortogonali non è un caso: infatti, nel caso di endomorfismi autoaggiunti gli autospazi corrispondenti ad autovalori distinti sono sempre mutuamente ortogonali. Il che non implica che in generale tu abbia direttamente "gratis" una base ortogonale di autovettori, dal momento che potrebbe essere necessario "ortogonalizzare alla Gram-Schmidt" all'interno di uno stesso autospazio quando esso ha dimensione strettamente maggiore di uno. Nel tuo caso, però, è tutto più facile.
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