Esercizio tema d'esame.. dubbio e mi blocco..
Ciao a tutti, mi sto preparando per il compitone di algebra lineare, stavo per fare questo esercizio, ma ho dei dubbi sulla risoluzione e alla domanda 3, mi blocco. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Ho dei dubbi di risoluzione alle domande 1 e 2. Potreste dirmi se è corretto il procedimento?
ho provato a svolgere così
per la domanda 1
ho provato a vedere se quei 3 vettori sono linearmente indipendenti, facendo il solito sistema
$ a( ( 2 ),( 1 ),( 0 ),(-1) )+b( ( 1 ),( 0 ),( 3 ),(1) )+c( ( 2 ),( 2 ),( -6 ),(0) )=ul(0) $
$ { ( 2a+b+2c=0 ),( a+2c=0 ),( 3b-6c=0 ),( -a+b=0 ):}\to{ ( 2b+b+2c=0 ),( b+2c=0 ),( b-2c=0 ),( a=b ):}\to $
$ { ( 3b+2c=0 ),( c=0 ),( b=2c ),( a=b ):}\to a=b=c=0 $
ok e i vettori sono linearmente indipendenti.
Poi per completare la base, ho usato Gauss alla matrice $ ( ( 2 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 3 , -6 ),( -1 , 1 , 0 ) ) $
riducendola a scala e contando i pivot, ecco i pivot non si annullano mai aggiugendo il vettore $ e_4=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),(1) ) $
dunque ho completato la base aggiugendo il vettore $e_4$
per rispondere alla domanda 2
ho pensato di fare così, ma non so se è corretto, vedere se i 4 vettori della mia base, formano una combinazione lineare del vettore alla domanda 2, in pratica la mia idea è
$ a( ( 2 ),( 1 ),( 0 ),(-1) )+b( ( 1 ),( 0 ),( 3 ),(1) )+c( ( 2 ),( 2 ),( -6 ),(0) )+d( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( x ) ) $
è corretta come idea?
poi per la domanda 3, non so come muovermi, un suggerimento?
Ho dei dubbi di risoluzione alle domande 1 e 2. Potreste dirmi se è corretto il procedimento?
ho provato a svolgere così
per la domanda 1
ho provato a vedere se quei 3 vettori sono linearmente indipendenti, facendo il solito sistema
$ a( ( 2 ),( 1 ),( 0 ),(-1) )+b( ( 1 ),( 0 ),( 3 ),(1) )+c( ( 2 ),( 2 ),( -6 ),(0) )=ul(0) $
$ { ( 2a+b+2c=0 ),( a+2c=0 ),( 3b-6c=0 ),( -a+b=0 ):}\to{ ( 2b+b+2c=0 ),( b+2c=0 ),( b-2c=0 ),( a=b ):}\to $
$ { ( 3b+2c=0 ),( c=0 ),( b=2c ),( a=b ):}\to a=b=c=0 $
ok e i vettori sono linearmente indipendenti.
Poi per completare la base, ho usato Gauss alla matrice $ ( ( 2 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , 2 ),( 0 , 3 , -6 ),( -1 , 1 , 0 ) ) $
riducendola a scala e contando i pivot, ecco i pivot non si annullano mai aggiugendo il vettore $ e_4=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),(1) ) $
dunque ho completato la base aggiugendo il vettore $e_4$
per rispondere alla domanda 2
ho pensato di fare così, ma non so se è corretto, vedere se i 4 vettori della mia base, formano una combinazione lineare del vettore alla domanda 2, in pratica la mia idea è
$ a( ( 2 ),( 1 ),( 0 ),(-1) )+b( ( 1 ),( 0 ),( 3 ),(1) )+c( ( 2 ),( 2 ),( -6 ),(0) )+d( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( x ) ) $
è corretta come idea?
poi per la domanda 3, non so come muovermi, un suggerimento?
Risposte
Per la 2: attento, deve appartenere a $W$, in $RR^4$ ci sta già di certo 
Per la 3 prova a costruire l'endomorfismo costruendo la matrice ad esso associata rispetto ad una base conveniente... (prova a pensarci un po', se non hai idee ti do un suggerimento più esplicito)
Per la 3 prova a costruire l'endomorfismo costruendo la matrice ad esso associata rispetto ad una base conveniente... (prova a pensarci un po', se non hai idee ti do un suggerimento più esplicito)
"Epimenide93":
Per la 2: attento, deve appartenere a $W$, in $RR^4$ ci sta già di certo
ah ok..quindi devo provare a fare questo esatto?
$ a( ( 2 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) )+b( ( 1 ),( 0 ),( 3 ),( 1 ) )+c( ( 2 ),( 2 ),( -6 ),( 0 ) )=( ( 0 ),( -1 ),( 1 ),( x ) ) $
è solo che ho già provato, ma mi viene per nessun valore di $x$ perchè mi viene un'identità falsa, io risolvo il sistema con il metodo di sostituzione
poi
"Epimenide93":
Per la 3 prova a costruire l'endomorfismo costruendo la matrice ad esso associata rispetto ad una base conveniente... (prova a pensarci un po', se non hai idee ti do un suggerimento più esplicito)
scusami ma continuo a non capire.. prova a darmi un suggerimento più esplicito e poi provo io..
un momento ma se provo a partire dalla definizione di autovalore, mettendo dentro nella matrice incognite?
Però questo non mi dice nulla sulla molteplicità algebrica e che invece il testo mi dice!..
Ora stai impostando il sistema corretto, non ho provato a risolverlo, ma se hai guardato i calcoli e dici che è impossibile allora semplicemente $\forall x \in RR, \upsilon_4 \notin W$.
Per il secondo punto, hai due autovalori di molteplicità 2 (direi che se non è specificato diversamente, si intende molteplicità geometrica, anche perché altrimenti sarebbe problema ben più difficile), quindi esiste una base rispetto alla quale la matrice che rappresenta l'endomorfismo è $((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, cioè una base costituita da autovettori. Due autovettori li hai già...
Nota che ti chiede di costruirne UNO per cui valgano quelle condizioni
Per il secondo punto, hai due autovalori di molteplicità 2 (direi che se non è specificato diversamente, si intende molteplicità geometrica, anche perché altrimenti sarebbe problema ben più difficile), quindi esiste una base rispetto alla quale la matrice che rappresenta l'endomorfismo è $((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, cioè una base costituita da autovettori. Due autovettori li hai già...
Nota che ti chiede di costruirne UNO per cui valgano quelle condizioni
"Epimenide93":
Ora stai impostando il sistema corretto, non ho provato a risolverlo, ma se hai guardato i calcoli e dici che è impossibile allora semplicemente $\forall x \in RR, \upsilon_4 \notin W$.
ok capito!
veniamo all'utimo punto dell'esercizio
"Epimenide93":
Per il secondo punto, hai due autovalori di molteplicità 2 (direi che se non è specificato diversamente, si intende molteplicità geometrica, anche perché altrimenti sarebbe problema ben più difficile), quindi esiste una base rispetto alla quale la matrice che rappresenta l'endomorfismo è $((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$, cioè una base costituita da autovettori. Due autovettori li hai già...
Nota che ti chiede di costruirne UNO per cui valgano quelle condizioni
dunque tu hai costruito la matrice diagonalizzata.
che sì gli autovalori si leggono sulla diagonale principale $((2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
e mi pare di capire che l'esercizio non sia finito così XD..
cioè devo scrivere il vettore $ ( ( 2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ come combinazione lineare della mia base $B$ trovata alla domanda 1?
chiedo..solo
oppure c'entra qualcosa la matrice di passaggio? perchè mi ricordo questa formula $P^(-1)A P=D$
Bingo! Nessuna combinazione lineare. Completa quei due vettori ad una base ${\upsilon_1, x_1, \upsilon_2, x_2}$ (i due vettori $x_1, x_2$ che aggiungi saranno autovettori relativi rispettivamente a 2 ed a 0) dopodiché rappresenta la tua matrice diagonale rispetto alla base canonica.
"Epimenide93":
Bingo! Nessuna combinazione lineare. Completa quei due vettori ad una base ${\upsilon_1, x_1, \upsilon_2, x_2}$ (i due vettori $x_1, x_2$ che aggiungi saranno autovettori relativi rispettivamente a 2 ed a 0) dopodiché rappresenta la tua matrice diagonale rispetto alla base canonica.
allora adesso devo determinare 2 vettori per completare la base, faccio come ho fatto prima
$ ( ( 2 , 1 ),( 1 , 0 ),( 0 , 3 ),( -1 , 1 ) )\to R_2=2R_2-R_1, R_4=2R_4+R_1 ( ( 2 , 1 ),( 0 , -1 ),( 0 , 3 ),( 0 , 3 ) ) $
Ok ora per non fare annullare mai quei pivot ci aggiungo il vettore $ e_2=( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ ed $ e_4=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $
così ho completato la base che è questa ora $ {( ( 2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 1 ),( -1 ),( 3 ),( 3 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) } $
È corretto?
se è corretto, usando questa formula $P^(-1) A P=D$
la mia $P$ è la matrice della base che ho trovato ora, poi trovo la sua inversa.. e la matrice $A$ è la matrice con solamente la diagonale principale composta da autovalori?
No, la matrice composta da autovalori è quella diagonale, quindi $D$, per il resto ci siamo.
quindi la matrice $A$ qual è?
Se $P^{-1}AP=D$ moltiplicando a sinistra per $P$ e a destra per $P^{-1}$ hai $A=PDP^{-1}$.
mi sono accorto che prima ho sbagliato a scrivere la base nuova che ho trovato..
la riscrivo qui..la base nuova è ${ul(v_1),ul(e_2), ul(v_2),ul(e_4)}$
però uff trovarsi la matrice inversa è una gran rottura di scatole..
comunque grazie dell'aiuto
la riscrivo qui..la base nuova è ${ul(v_1),ul(e_2), ul(v_2),ul(e_4)}$
però uff trovarsi la matrice inversa è una gran rottura di scatole..
comunque grazie dell'aiuto
Di nulla
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