Esercizio sullo spazio, rette incidenti...

[marthy_92]

Salve a tutti, non so come risolvere la richiesta di questo esercizio.

Nello spazio cartesiano R3 Date la rette r, s, t di equazione rispettivamente.

r ) $ { ( y + 1 = 0 ),( z + 2 = 0 ):} $

s) $ { ( y - z = 0 ),( x - z + 1 = 0 ):} $

t ) $ { ( y + 3 = 0 ),( x - y + 2 = 0 ):} $

Determinare, se esistono, le rette incidenti contemporaneamente le suddette rette .
Come faccio a risolverlo?

[Clorinda1]

"Marthy_92":Salve a tutti, non so come risolvere la richiesta di questo esercizio.

Date la rette r, s, t di equazione rispettivamente.

r ) $ { ( y + 1 = 0 ),( z + 2 = 0 ):} $

s) $ { ( y - z = 0 ),( x - z + 1 = 0 ):} $

t ) $ { ( y + 3 = 0 ),( x - y + 2 = 0 ):} $

Come faccio a risolverlo ?

Mmmm.. mi sembra che manchi un pezzo di esercizio (non c'è la richiesta).
Probabilmente la richiesta sarà una cosa del tipo: "dimostrare che le rette nello spazio sono incidenti" o qualcosa del genere.

[Seneca1]

Direi che ti sei dimenticata anche di specificare qual è lo spazio ambiente.

[marthy_92]

Si, avete ragione scusatemi XD ho aggiunto la richiesta (sessione d'essami estiva )

[marthy_92]

ecco ho sistemato l'esercizio

Nello spazio cartesiano R3 Date la rette r, s, t di equazione rispettivamente.

r ) $ { ( y + 1 = 0 ),( z + 2 = 0 ):} $

s) $ { ( y - z = 0 ),( x - z + 1 = 0 ):} $

t ) $ { ( y + 3 = 0 ),( x - y + 2 = 0 ):} $

Determinare, se esistono, le rette incidenti contemporaneamente le suddette rette .
Come faccio a risolverlo?

[Clorinda1]

"Marthy_92":ecco ho sistemato l'esercizio

Nello spazio cartesiano R3 Date la rette r, s, t di equazione rispettivamente.

r ) $ { ( y + 1 = 0 ),( z + 2 = 0 ):} $

s) $ { ( y - z = 0 ),( x - z + 1 = 0 ):} $

t ) $ { ( y + 3 = 0 ),( x - y + 2 = 0 ):} $

Determinare, se esistono, le rette incidenti contemporaneamente le suddette rette .
Come faccio a risolverlo?

Io lo risolverei così:
1) Calcolo un generico punto sulla retta $r$ e un generico punto sulla retta $s$;
2) Calcolo l'equazione della retta passante per i due punti calcolati sopra
3) Interseco la retta ottenuta con la retta $t$ e se il sistema non viene impossibile significa che ci sono soluzioni.

Ora non ho tempo per mettermi a fare i conti; riprendo in mano l'esercizio più tardi.

[marthy_92]

grazie Clorinda, potresti svolgere l'esercizio e postarlo qui per favore ? ho parecchie difficoltà :/

[Clorinda1]

"Marthy_92":grazie Clorinda, potresti svolgere l'esercizio e postarlo qui per favore ? ho parecchie difficoltà :/

La prima parte dovrebbe essere facile.
Un generico punto della retta $r$ è: $P(a,1,2)$ e un generico punto della retta s è $Q(-b+1,b,b)$
quindi applico la formula per ottenere una retta, dati tre punti nello spazio:

$x=(-b+1)+t(a-(-b+1))$
$y=(b)+t(1-b)$
$z=b+t(2-b)$

quindi l'equazione parametrica, come diventa?

[marthy_92]

scusami clorinda.. io ho trasformato le rette in forma parametrica così

r) $ { ( x = t ),( y = -1 ),( z = -2 ):} $

s) $ { ( x = t - 1 ),( y = t ),( z = t ):} $

quindi il generico pto di r non è ( a , -1, -2) ? E Il generico pto di s non è ( b -1, b,b) ??

[Clorinda1]

"Marthy_92":

quindi il generico pto di r non è ( a , -1, -2) ? E Il generico pto di s non è ( b -1, b,b) ??

Hai ragione tu...

[Clorinda1]

Riscrivo la retta ottenuta:

$x=(b-1)+t(a-b+1)$
$z=b+t(-2-b)$
$ y=(b)+t(-1-b) $

La terza retta può essere scritta come segue:

$x=3 -2$
$y=3$
$z=t$

e poi devo comparare i coefficenti direttori per controllare che siano complanari, e quindi incidenti ( a meno di parallelismo, ovviamente).

[marthy_92]

allora considerando i punti ( a , -1, -2) e (( b -1, b,b) la retta passante per essi se non sbaglio dovrebbe essere
questa

x = (b-1) + ( a - (b-1)) * t
y = b + (-1 -b ) * t
z = b + ( - 2 - b) * t

quindi i suoi parametri direttori sono ( a-b+1, -1 -b, -2-b) .
Quella "terza retta" che hai scritto in forma parametrica sarebbe la retta t? a me viene diversa.

x = -5
y = -3
z = t

con parametri direttoti ( 0 , 0 , 1)
A questo punto come devo concludere?

[Clorinda1]

"Marthy_92":scusami clorinda x errore devo aver allora considerando i punti ( a , -1, -2) e (( b -1, b,b) la retta passante per essi se non sbaglio dovrebbe essere
questa

x = (b-1) + ( a - (b-1)) * t
y = b + (-1 -b ) * t
z = b + ( - 2 - b) * t

quindi i suoi parametri direttori sono ( a-b+1, -1 -b, -2-b) a questo punto cosa dovrei fare?

Ho editato il post precedente, avevo fatto un po' di pasticci.
Ora bisogna imporre che le due rette siano incidenti. Condizione necessaria per ottenere ciò, è che siano complanari.
Bisogna quindi verificare che il rango della seguente matrice:
\begin{vmatrix}a-b+1&-1-b&-2-b\\0&0&1\end{vmatrix}
abbia rango $1$