Esercizio sulle sfere

[kotek]

Ciao a tutti,
qualcuno mi darebbe uno spunto per risolvere questo quesito:

"Determinare le equazioni delle eventuali sfere tangenti il piano $pi1-=x+y+z-6=0$" in $Q(2,2,2)$ ed aventi il centro sul piano $pi2-=x+y-z-3=0$.

Datemi un consiglio non so proprio da dove iniziare

[franced]

"kotek":Ciao a tutti,
qualcuno mi darebbe uno spunto per risolvere questo quesito:

"Determinare le equazioni delle eventuali sfere tangenti il piano $pi1-=x+y+z-6=0$" in $Q(2,2,2)$ ed aventi il centro sul piano $pi2-=x+y-z-3=0$.

Datemi un consiglio non so proprio da dove iniziare

L'esercizio è molto semplice, basta ragionare sul luogo dei centri delle sfere tangenti in $Q$ al piano $\pi_1$.

[kotek]

e quali sono questi luoghi?

[franced]

"kotek":e quali sono questi luoghi?

Il luogo, non "i luoghi"...

Prova a vedere queste sfere tangenti ad un piano in un suo punto...
provaci, è davvero facile!

[kotek]

Scusami se porto tanta fratta ma è perchè domani ho l'esame..aiutami per favore

[franced]

I centri delle sfere tangenti al piano $\pi_1$ in $Q$ stanno
sulla retta $r$ perpendicolare al piano $\pi_1$ e passante per $Q$.

Quindi il centro $C$ della sfera che risolve il problema si ottiene
intersecando $r$ con l'altro piano $\pi_2$.
Il raggio $R$ della sfera, ovviamente, sarà $R = d(C,Q)$

Chiaro ora?

[kotek]

Quindi esiste solo una sfera con tali caratteristiche?

[franced]

"kotek":Quindi esiste solo una sfera con tali caratteristiche?

Sì.

[franced]

Facendo i calcoli si trova che il centro è [tex]C(3,3,3)[/tex],
quindi l'equazione cartesiana della sfera è la seguente:

[tex]x^2 + y^2 + z^2 - 6 x - 6 y - 6 z + 24 = 0[/tex] .

Si verifica molto facilmente che C appartiene al piano [tex]x+y-z-3=0[/tex]
e che la sfera è tangente al piano [tex]x+y+z-6=0[/tex] nel punto [tex](2,2,2)[/tex].