Esercizio sulle rette, consiglio
Salve, sto cercando di risolvere il seguente quesito di geometria, sono un po autodidatta per cui alcune cose mi sono chiare altre meno ...
Data la retta r di equazioni $x - hy + hz = x + y = 0$ e la retta s $x + hz - 1 = y - hz + 1 = 0$
devo determinare il valore del parametro $h$ affinchè le due rette risultino parallele, e poi per tale valore devo determinare il piano che contiene le suddette rette.
per prima cosa ho cercato di scrivere entrambe le rette come intersezione di due piani scrivendo
$r={(x - hy + hz = 0),(x + y = 0):}$
$s={(x + hz - 1 = 0),(y - hz + 1 = 0):}$
anche se qui ho un dubbio, mi chiedo se non è possibile in questo caso di scrivere le rette eguagliando direttamente entrambe le equazioni, visto che entrambe sono uguali a zero per logica dovrebbero essere una uguale all'altra.
comunque procedendo come fatto prima, passo alle equazioni parametriche ponendo una delle incognite uguale a t e sostituendo nelle altre e ottengo questo
$r={(x = t) , (y = -t) , (z = t(-1 +h)/h):}$
da cui quindi mi ricavo i parametri direttori di r che chiamo $\vec u = [1,-1,(-1+h)/h]$
invece per l'altra retta ottengo
$s={(x = 1-ht) , (y = -1 +ht) , (z = t):}$
da cui ricavo invece i parametri direttori $\vec v = [-h,h,1]$
non so se fin qui ci sono errori o meno ho cercato di seguire la teoria per quel che ho capito.
quindi avendo i parametri direttori so che per capire se due rette sono parallele, i parametri direttori delle rette devono essere proporzionali, cioè $\vec u =k \vec v $ , quindi devo verificare che $ 1=-kh, -1=kh, (-1+h)/h=k $
ho messo a sistema le 3 equazioni ma risolvendo mi viene che sia $k$ sia $h$ sono uguali a $0$ ed è qui che non capisco piu che fare, come soluzione mi sembra sia errata se non altro perchè dovrebbero essere proporzionali per un valore $k$ che dovrebbe essere diverso da $0$ se non sbaglio ... ma anche facendo la verifica per un eventuale $k$ uguale a $0$ non mi coincidono i calcoli ... se qualcuno mi aiutasse a capire come si risolve questo problema gliene sarei grato, se ho sbagliato prima, se c'è solo un errore di calcolo o non saprei ... ho provato a rifare ma arrivo sempre a quel punto morto
grazie
Data la retta r di equazioni $x - hy + hz = x + y = 0$ e la retta s $x + hz - 1 = y - hz + 1 = 0$
devo determinare il valore del parametro $h$ affinchè le due rette risultino parallele, e poi per tale valore devo determinare il piano che contiene le suddette rette.
per prima cosa ho cercato di scrivere entrambe le rette come intersezione di due piani scrivendo
$r={(x - hy + hz = 0),(x + y = 0):}$
$s={(x + hz - 1 = 0),(y - hz + 1 = 0):}$
anche se qui ho un dubbio, mi chiedo se non è possibile in questo caso di scrivere le rette eguagliando direttamente entrambe le equazioni, visto che entrambe sono uguali a zero per logica dovrebbero essere una uguale all'altra.
comunque procedendo come fatto prima, passo alle equazioni parametriche ponendo una delle incognite uguale a t e sostituendo nelle altre e ottengo questo
$r={(x = t) , (y = -t) , (z = t(-1 +h)/h):}$
da cui quindi mi ricavo i parametri direttori di r che chiamo $\vec u = [1,-1,(-1+h)/h]$
invece per l'altra retta ottengo
$s={(x = 1-ht) , (y = -1 +ht) , (z = t):}$
da cui ricavo invece i parametri direttori $\vec v = [-h,h,1]$
non so se fin qui ci sono errori o meno ho cercato di seguire la teoria per quel che ho capito.
quindi avendo i parametri direttori so che per capire se due rette sono parallele, i parametri direttori delle rette devono essere proporzionali, cioè $\vec u =k \vec v $ , quindi devo verificare che $ 1=-kh, -1=kh, (-1+h)/h=k $
ho messo a sistema le 3 equazioni ma risolvendo mi viene che sia $k$ sia $h$ sono uguali a $0$ ed è qui che non capisco piu che fare, come soluzione mi sembra sia errata se non altro perchè dovrebbero essere proporzionali per un valore $k$ che dovrebbe essere diverso da $0$ se non sbaglio ... ma anche facendo la verifica per un eventuale $k$ uguale a $0$ non mi coincidono i calcoli ... se qualcuno mi aiutasse a capire come si risolve questo problema gliene sarei grato, se ho sbagliato prima, se c'è solo un errore di calcolo o non saprei ... ho provato a rifare ma arrivo sempre a quel punto morto
grazie
Risposte
Il tuo procedimento mi sembra generalmente corretto, anche se non l'ho guardato bene, forse c'è un passaggio errato.
Ti dico come lo farei io, che è un pelo più diretto.
Intanto vedi che per la $r$, vale $x+y=0$, quindi $x=-y$, e qui $h$ non c'entra nulla, per cui questa relazione deve valere anche per s.
Infatti se prendi la s vedi che:
$x+hz−1=y−hz+1 $
$x+hz−1=-y+hz-1$
$x=-y$.
Quindi si sostituisce $-x=y$ dappertutto e si guarda z in funzione di x.
Per la r:
$z = x (h+1)/h$
per la s:
$z = (1-x)/h$
Uguagli i coefficienti di x:
$(h+1)/h = -1/h$
$h=-2$
fine.
Ti dico come lo farei io, che è un pelo più diretto.
Intanto vedi che per la $r$, vale $x+y=0$, quindi $x=-y$, e qui $h$ non c'entra nulla, per cui questa relazione deve valere anche per s.
Infatti se prendi la s vedi che:
$x+hz−1=y−hz+1 $
$x+hz−1=-y+hz-1$
$x=-y$.
Quindi si sostituisce $-x=y$ dappertutto e si guarda z in funzione di x.
Per la r:
$z = x (h+1)/h$
per la s:
$z = (1-x)/h$
Uguagli i coefficienti di x:
$(h+1)/h = -1/h$
$h=-2$
fine.
grazie quinzio per la risposta.
ho preso il tuo consiglio e provato a svolgere guardandolo in quel modo, solo che ho qualche dubbio che esprimo cosi da togliermelo per capire bene i passaggi.
hai affermato che la relazione di $r$ $x=-y$ vale anche per $s$ per il fatto che entrambe le rette sono espresse su $x$, $y$, e $z$ ? chiedo cosi da non incappare in errori in futuro.
poi svolgo ma io per $r$ non ottengo $ z= x(h+1)/h$ ma ottengo ben si che $z=-x(h+1)/h$ magari sbaglio qualche segno ?
poi quando eguagli le $x$ non capisco in che modo raccogli la $x$ sulla retta $s$ per esplicitare quei valori, io ho provato a far da me e ottengo questo
per $r$ :
$z=-x(h+1)/h$
per $s$ :
$z= (1-x)/h$
come esplicito direttamente i coefficienti di $x$ ?
sulla prima ci siamo che $x$ è raccolto, ma sulla seconda ?
se fossi un pelino piu chiaro per chiarirmi questo passaggio fatto da te te ne sarei molto grato che sicuramente qualcosa mi sfugge
poi approfitto per chiederti in che modo son certo che per questo valore di $h$ le rette sono parallele ? dovrei sostituire $h=-2$ alle due rette, ricalcolare i vettori direttori ( visto che nei miei primi calcoli ci sono forse errori ) e fare la condizione di parallelismo $\vec u = k\vec v$ ?
grazie ancora quinzio
ho preso il tuo consiglio e provato a svolgere guardandolo in quel modo, solo che ho qualche dubbio che esprimo cosi da togliermelo per capire bene i passaggi.
hai affermato che la relazione di $r$ $x=-y$ vale anche per $s$ per il fatto che entrambe le rette sono espresse su $x$, $y$, e $z$ ? chiedo cosi da non incappare in errori in futuro.
poi svolgo ma io per $r$ non ottengo $ z= x(h+1)/h$ ma ottengo ben si che $z=-x(h+1)/h$ magari sbaglio qualche segno ?
poi quando eguagli le $x$ non capisco in che modo raccogli la $x$ sulla retta $s$ per esplicitare quei valori, io ho provato a far da me e ottengo questo
per $r$ :
$z=-x(h+1)/h$
per $s$ :
$z= (1-x)/h$
come esplicito direttamente i coefficienti di $x$ ?
sulla prima ci siamo che $x$ è raccolto, ma sulla seconda ?
se fossi un pelino piu chiaro per chiarirmi questo passaggio fatto da te te ne sarei molto grato che sicuramente qualcosa mi sfugge
poi approfitto per chiederti in che modo son certo che per questo valore di $h$ le rette sono parallele ? dovrei sostituire $h=-2$ alle due rette, ricalcolare i vettori direttori ( visto che nei miei primi calcoli ci sono forse errori ) e fare la condizione di parallelismo $\vec u = k\vec v$ ?
grazie ancora quinzio
UP ... se qualcuno potesse non dico risolvermelo ma almeno dirmi se sono nel giusto con i passaggi visto che alcuni conti non mi tornano grazie
"malcon":
grazie quinzio per la risposta.
ho preso il tuo consiglio e provato a svolgere guardandolo in quel modo, solo che ho qualche dubbio che esprimo cosi da togliermelo per capire bene i passaggi.
hai affermato che la relazione di $r$ $x=-y$ vale anche per $s$ per il fatto che entrambe le rette sono espresse su $x$, $y$, e $z$ ? chiedo cosi da non incappare in errori in futuro.
Beh, certo.... mi sembra ovvio.
poi svolgo ma io per $r$ non ottengo $ z= x(h+1)/h$ ma ottengo ben si che $z=-x(h+1)/h$ magari sbaglio qualche segno ?
No, è un errore mio.
poi quando eguagli le $x$ non capisco in che modo raccogli la $x$ sulla retta $s$ per esplicitare quei valori, io ho provato a far da me e ottengo questo
per $r$ :
$z=-x(h+1)/h$
per $s$ :
$z= (1-x)/h$
come esplicito direttamente i coefficienti di $x$ ?
sulla prima ci siamo che $x$ è raccolto, ma sulla seconda ?
E' una cosa abbastanza elementare, che dovresti sapere..... no ?
se fossi un pelino piu chiaro per chiarirmi questo passaggio fatto da te te ne sarei molto grato che sicuramente qualcosa mi sfugge
poi approfitto per chiederti in che modo son certo che per questo valore di $h$ le rette sono parallele ? dovrei sostituire $h=-2$ alle due rette, ricalcolare i vettori direttori ( visto che nei miei primi calcoli ci sono forse errori ) e fare la condizione di parallelismo $\vec u = k\vec v$ ?
Si certo.
grazie ancora quinzio
intanto grazie ancora
ora riprovo a farlo d'accapo per vedere perchè i conti non mi tornavano, è per quello che avevo dubbi circa quel raccoglimento perchè a me non riesce a venire h=-2
riprovo e ti faccio sapere come è andata
ora riprovo a farlo d'accapo per vedere perchè i conti non mi tornavano, è per quello che avevo dubbi circa quel raccoglimento perchè a me non riesce a venire h=-2
riprovo e ti faccio sapere come è andata
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