Esercizio sulle rette

[Antonio.Cefalu]

Gentile Matematicamente.it
Mi chiamo Antonio e sono qui perchè ho difficoltà nella risoluzione di un quesito d'esame di Algebra lineare e Geometria della facoltà di Ingegneria Elettronica.
Il testo è il seguente: Date le rette r1: { x= 2 - t ; y = t; z = 1 + t} e r2: { y = 1; x - y + z + 1 = 0}, scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta s passante per P=(1, 2, 0) incidente r1 e ortogonale r2.
Determinare la distanza tra s e r2.

Sono riuscito a trovare il piano ortogonale alla retta r2 e passante per P, sfruttando l' equazione del piano : ax + by + cz + d = 0 imponendo il passaggio per il punto P e utilizzando i vettori direzione di r2.
Il mio problema riguarda il come trovare il piano incidente r1 e passante il punto P. Qualcuno può gentilmente spiegarmi come fare ad ottenere tale piano? Grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Retta $r_1$

$\{(x=-t+2),(y=t),(z=t+1):} rarr \{(t=-x+2),(t=y),(t=z-1):} rarr [(x-2)/(-1)=(y-0)/1=(z-1)/1]$

Retta $r_2$

$\{(x=t),(y=1),(z=-t):} rarr \{(t=x),(y=1),(t=-z):} rarr [(x-0)/1=(y-1)/0=(z-0)/(-1)]$

Retta $s$

$(x-1)/a=(y-2)/b=(z-0)/c$

1. $[s xx r_1] rarr det[(a,b,c),(-1,1,1),(1-2,2-0,0-1)]=0 rarr det[(a,b,c),(-1,1,1),(-1,2,-1)]=0 rarr 3a+2b+c=0$

2. $[s _|_ r_2] rarr a-c=0$

Sistema

$\{(3a+2b+c=0),(a-c=0):} rarr \{(b=-2a),(c=a):}$

Soluzione

$(x-1)/1=(y-2)/-2=(z-0)/1$

[Antonio.Cefalu]

Grazie per la tempestiva risposta Ho comunque alcune difficoltà a capire il punto 1 e 2. Quando si effettua il prodotto vettoriale tra s e r1, come faccio a trovare i vettori direzione della retta s? So che i vettori direzione di r1 sono dati dalla t dell' equazione parametrica ma non riesco a capire quella differenza nell' ultima riga della matrice.

[Studente Anonimo]

Intanto, con la notazione $[s xx r_1]$ intendevo semplicemente indicare la condizione di incidenza. Insomma, non è un prodotto vettoriale. Inoltre:

Retta $r_1$

$\{(x=-t+2),(y=t),(z=t+1):} rarr \{(t=-x+2),(t=y),(t=z-1):} rarr [(x-2)/(-1)=(y-0)/1=(z-1)/1] rarr$

$rarr$ Le componenti di un vettore libero parallelo alla retta $r_1$ sono $(-1,1,1)$.

Retta $r_2$

$\{(x=t),(y=1),(z=-t):} rarr \{(t=x),(y=1),(t=-z):} rarr [(x-0)/1=(y-1)/0=(z-0)/(-1)] rarr$

$rarr$ Le componenti di un vettore libero parallelo alla retta $r_2$ sono $(1,0,-1)$.

Retta $s$

$(x-1)/a=(y-2)/b=(z-0)/c$

$rarr$ Le componenti di un vettore libero parallelo alla retta $s$ sono $(a,b,c)$.

Infine, mentre la condizione di ortogonalità può essere imposta annullando il prodotto scalare tra $(a,b,c)$ e $(1,0,-1)$:

$a-c=0$

la condizione di incidenza può essere imposta osservando che $(a,b,c)$, $(-1,1,1)$ e il vettore libero che ha come estremi i due punti $A(2,0,1)$ e $B(1,2,0)$:

$vec(AB)=B-A=(1,2,0)-(2,0,1)=(-1,2,-1)$

sono linearmente dipendenti:

$det[(a,b,c),(-1,1,1),(-1,2,-1)]=0 rarr 3a+2b+c=0$

Del resto, si sa che la condizione di lineare dipendenza possa essere imposta annullando il determinante della matrice le cui righe rappresentano le componenti dei vettori in esame. Insomma, il determinante di cui sopra non è un prodotto vettoriale.