Esercizio sulle matrici
Ho una grande difficoltà nello svolgere questo tipo di esercizio nonostante ho capito come si imposta inizialmente e le varie operazioni che è possibile fare tra le righe ecc...qualcuno sà svolgerlo completamente?grazie mille
Al variare del parametro k ∈ R studia (cioè determina per quali valori del parametro il sistema ammette soluzione, e in tal caso trova le soluzioni) il sistema lineare:
$ { ( x+y+z=k ),( x+y+(k+1)z=0 ),( (k+1)x -y-z=-2k ):} $
Al variare del parametro k ∈ R studia (cioè determina per quali valori del parametro il sistema ammette soluzione, e in tal caso trova le soluzioni) il sistema lineare:
$ { ( x+y+z=k ),( x+y+(k+1)z=0 ),( (k+1)x -y-z=-2k ):} $
Risposte
Si può fare in (almeno) due modi:
1) Sottraendo la prima equazione della seconda, si ottiene subito che \( kz = - k \). Questo vuol dire che o \( k = 0 \), o \( k \neq 0, \ z = -1 \). Se \(k = 0\), la prima equazione e la seconda diventano uguali. Un sistema di due equazioni indipendenti e tre variabili ammette infinite soluzioni. Prendendo come parametro \(z\), la soluzione generale del sistema è
\[ \begin{cases} x = 0, \\ y = - z, \\ z = z. \end{cases}, \qquad k = 0 \]
Se invece \(k \neq 0 \), sommando la terza equazione con la prima, otteniamo \( (k+2) x = -k \). Se \(k = -2 \), il sistema non ammette soluzioni; infatti, risulterebbe che \( 0 = -2 \), secondo questa equazione. Se \( k \neq -2 \), invece:
\[ x = - \frac{k}{k+2} \]
ed usando il fatto che \( z = -1 \), per ciò che abbiamo trovato inizialmente, otteniamo anche che
\[ y = \frac{k^2 + 4k + 2}{k+2}. \]
In sintesi, per \(k \neq 0 \):
\[ k = -2 \implies \nexists \ \text{soluzione} \]
\[ k \neq -2 \implies \begin{cases} x = - \frac{k}{k+2}, \\ y = \frac{k^2 + 4k +2}{k + 2}, \\ z = -1 \end{cases} \]
2) Se ti interessa trovare soltanto soluzioni uniche, ti conviene fare in quest'altro modo. La matrice associata al sistema è:
\[ A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & (1+k) \\ (k+1) & -1 & -1 \end{matrix} \right ] \]
Ti basta imporre che questa sia non singolare, ovvero che abbia determinante non nullo. Questo perché, se scriviamo il sistema nella forma \( A X = B \), allora è possibile trovare la sua soluzione moltiplicando (a sinistra) da entrambe le parti per l'inversa di \(A \), ovvero:
\[ A^{-1} A X = A^{-1} B \implies X = A^{-1} B \]
e l'inversa di \( A \) esiste soltanto se \( A \) non è singolare. Il determinante di \(A \) risulta essere:
\[ \det A = k^2 + 2k = k (k + 2) \]
ed è non nullo solo se \( k \neq 0 \) e \(k \neq -2 \); questo corrisponde a ciò che avevamo ottenuto con il primo metodo, ovvero che la soluzione è unica soltanto in queste condizioni. Ora possiamo procedere direttamente trovando l'inversa di \(A \). O si usa Gauss-Jordan o il metodo della matrice aggiunta. Io ho usato il secondo, ottenendo:
\[ A^{-1} = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{k+2} & 0 & \frac{1}{k+2} \\ \frac{k^2 + 2k +2}{k(k+2)} & - \frac{1}{k} & - \frac{1}{k+2} \\ - \frac{1}{k} & \frac{1}{k} & 0 \end{matrix} \right ] \]
Ora non resta che fare il prodotto \( A^{-1} B \), con
\[ B = \left [ \begin{matrix} k \\ 0 \\ -2k \end{matrix} \right ] \]
Facendolo, otteniamo che:
\[ X = A^{-1} B = \left [ \begin{matrix} \frac{-k}{k+2} \\ \frac{k^2 + 4k + 2}{k+2} \\ - 1 \end{matrix} \right ] \]
che per
\[ X = \left [ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ] \]
corrisponde alla soluzione trovata con il primo metodo. Alcuni di questi passaggi si sarebbero potuti evitare con il metodo di Cramer. Tuttavia, trovo che ragionare così sia più intuitivo, anche se (forse) più lungo. Bisogna tenere sempre a mente che le matrici, in generale, non commutano, \(AB \neq BA \), e che sia necessario fare \( A^{-1} B \) e non il contrario.
1) Sottraendo la prima equazione della seconda, si ottiene subito che \( kz = - k \). Questo vuol dire che o \( k = 0 \), o \( k \neq 0, \ z = -1 \). Se \(k = 0\), la prima equazione e la seconda diventano uguali. Un sistema di due equazioni indipendenti e tre variabili ammette infinite soluzioni. Prendendo come parametro \(z\), la soluzione generale del sistema è
\[ \begin{cases} x = 0, \\ y = - z, \\ z = z. \end{cases}, \qquad k = 0 \]
Se invece \(k \neq 0 \), sommando la terza equazione con la prima, otteniamo \( (k+2) x = -k \). Se \(k = -2 \), il sistema non ammette soluzioni; infatti, risulterebbe che \( 0 = -2 \), secondo questa equazione. Se \( k \neq -2 \), invece:
\[ x = - \frac{k}{k+2} \]
ed usando il fatto che \( z = -1 \), per ciò che abbiamo trovato inizialmente, otteniamo anche che
\[ y = \frac{k^2 + 4k + 2}{k+2}. \]
In sintesi, per \(k \neq 0 \):
\[ k = -2 \implies \nexists \ \text{soluzione} \]
\[ k \neq -2 \implies \begin{cases} x = - \frac{k}{k+2}, \\ y = \frac{k^2 + 4k +2}{k + 2}, \\ z = -1 \end{cases} \]
2) Se ti interessa trovare soltanto soluzioni uniche, ti conviene fare in quest'altro modo. La matrice associata al sistema è:
\[ A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & (1+k) \\ (k+1) & -1 & -1 \end{matrix} \right ] \]
Ti basta imporre che questa sia non singolare, ovvero che abbia determinante non nullo. Questo perché, se scriviamo il sistema nella forma \( A X = B \), allora è possibile trovare la sua soluzione moltiplicando (a sinistra) da entrambe le parti per l'inversa di \(A \), ovvero:
\[ A^{-1} A X = A^{-1} B \implies X = A^{-1} B \]
e l'inversa di \( A \) esiste soltanto se \( A \) non è singolare. Il determinante di \(A \) risulta essere:
\[ \det A = k^2 + 2k = k (k + 2) \]
ed è non nullo solo se \( k \neq 0 \) e \(k \neq -2 \); questo corrisponde a ciò che avevamo ottenuto con il primo metodo, ovvero che la soluzione è unica soltanto in queste condizioni. Ora possiamo procedere direttamente trovando l'inversa di \(A \). O si usa Gauss-Jordan o il metodo della matrice aggiunta. Io ho usato il secondo, ottenendo:
\[ A^{-1} = \left [ \begin{matrix} \frac{1}{k+2} & 0 & \frac{1}{k+2} \\ \frac{k^2 + 2k +2}{k(k+2)} & - \frac{1}{k} & - \frac{1}{k+2} \\ - \frac{1}{k} & \frac{1}{k} & 0 \end{matrix} \right ] \]
Ora non resta che fare il prodotto \( A^{-1} B \), con
\[ B = \left [ \begin{matrix} k \\ 0 \\ -2k \end{matrix} \right ] \]
Facendolo, otteniamo che:
\[ X = A^{-1} B = \left [ \begin{matrix} \frac{-k}{k+2} \\ \frac{k^2 + 4k + 2}{k+2} \\ - 1 \end{matrix} \right ] \]
che per
\[ X = \left [ \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ] \]
corrisponde alla soluzione trovata con il primo metodo. Alcuni di questi passaggi si sarebbero potuti evitare con il metodo di Cramer. Tuttavia, trovo che ragionare così sia più intuitivo, anche se (forse) più lungo. Bisogna tenere sempre a mente che le matrici, in generale, non commutano, \(AB \neq BA \), e che sia necessario fare \( A^{-1} B \) e non il contrario.
grazie mille!
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