Esercizio sulle forme quadratiche
Si consideri la forma quadratica q su $R^4$ definita da q(x,y,z,t)=$x^2$+$(y-z)^2$+$(t-x)^2$ e si consideri il sottospazio W=Span((1,0,0,-1),(0,1,-1,0)). di $R^4$. Stabilire se la restrizione di q a W è definita positiva.
Allora io so come si fa a capire se una forma quadratica è definita positiva, ma non so come si fa per la restrizione, qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmelo? grazie
Allora io so come si fa a capire se una forma quadratica è definita positiva, ma non so come si fa per la restrizione, qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmelo? grazie
Risposte
Lo puoi fare anche direttamente. Un vettore di W è in forma parametrica $(lambda, mu, -mu, -lambda)$. Calcola $q(lambda, mu, -mu, -lambda)$ e vedi che succede.
l'ho già fatto ma non mi dice niente
sei sicuro? a me risulta $q(lambda, mu, -mu, -lambda)=5lambda^2+4mu^2$. quando è positiva l'espressione a destra?
quindi tu dici che per definizione questo numero è sempre maggiore o uguale a zero e in particolare è uguale a zero se e solo se la quaterna è nulla giusto?
non "per definizione", ma perché l'abbiamo verificato. Per ogni vettore $w$ di $W$ succede che $q(w)>=0$, e $q(w)=0 iff w=0$. Comunque il concetto è quello.
questa che hai detto è una definizione
è la definizione di forma quadratica definita positiva, almeno così l'ha definita il mio professore
è la definizione di forma quadratica definita positiva, almeno così l'ha definita il mio professore
Cerco di essere più preciso.
Definizione: Una forma quadratica $q$ su uno spazio vettoriale reale $V$ è detta definita positiva se $\forall v\inV$ risulta $q(v)>=0$ e $q(v)=0$ solo per $v=0$.
Nel nostro caso, $q$ è una forma quadratica su $RR^4$. E' chiaro che la restrizione di $q$ ad ogni sottospazio di $RR^4$ è ancora una forma quadratica. Con il calcolo di prima osserviamo che $q$ ristretta a $W$ verifica la definizione di forma quadratica definita positiva. Concludiamo che $q|_{W}$ è definita positiva.
Ho segnato in corsivo il punto equivoco. Volevo sottolineare questo passaggio logico. Spero di essere stato chiaro!
Definizione: Una forma quadratica $q$ su uno spazio vettoriale reale $V$ è detta definita positiva se $\forall v\inV$ risulta $q(v)>=0$ e $q(v)=0$ solo per $v=0$.
Nel nostro caso, $q$ è una forma quadratica su $RR^4$. E' chiaro che la restrizione di $q$ ad ogni sottospazio di $RR^4$ è ancora una forma quadratica. Con il calcolo di prima osserviamo che $q$ ristretta a $W$ verifica la definizione di forma quadratica definita positiva. Concludiamo che $q|_{W}$ è definita positiva.
Ho segnato in corsivo il punto equivoco. Volevo sottolineare questo passaggio logico. Spero di essere stato chiaro!
"dissonance":
Cerco di essere più preciso.
Definizione: Una forma quadratica $q$ su uno spazio vettoriale reale $V$ è detta definita positiva se $\forall v\inV$ risulta $q(v)>=0$ e $q(v)=0$ solo per $v=0$.
Nel nostro caso, $q$ è una forma quadratica su $RR^4$. E' chiaro che la restrizione di $q$ ad ogni sottospazio di $RR^4$ è ancora una forma quadratica. Con il calcolo di prima osserviamo che $q$ ristretta a $W$ verifica la definizione di forma quadratica definita positiva. Concludiamo che $q|_{W}$ è definita positiva.
Ho segnato in corsivo il punto equivoco. Volevo sottolineare questo passaggio logico. Spero di essere stato chiaro!
vabene come spiegazione è matematicamente perfetta grazie
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