Esercizio sulle coniche
Salve, vorrei chiedervi conferma per questo esercizio sulle coniche. Per le prime tre richieste ho scritto direttamente i risultati senza argomentarli particolarmente perchè credo mi siano chiare, sulla quarta richiesta non so esattamente cosa fare.
A) Si consideri la conica $ gamma _h $ definita in coordinate omogenee mediante l'equazione:
$ f_h(x,x)=hx_1^2-x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2hx_1x_3=0 $
1) classificare $ gamma _h $ al variare di $ h $ ;
2) posto $ h=1 $ si calcoli la polare all'origine $ omega (O) $ ;
3) posto $ h=2 $ si calcoli il centro;
4) posto $ h=0 $, si calcolino gli asintoti della conica.
1) $ B=( ( h , 2 , h ),( 2 , -1 , 0 ),( h , 0 , 1 ) ) $
$ detB=h^2-h-4 $
Se $ h=(1+sqrt17)/2vv (1-sqrt17)/2 $ $ rArr $ $ r(B)=2 $ $ rArr $ $ gamma $ è semplicemente degenere.
Se $ h!= (1+sqrt17)/2vv (1-sqrt17)/2 $ $ rArr $ $ r(B)=3 $ $ rArr $ $ gamma $ è non degenere.
$ detB_33=| ( h , 2 ),( 2 , -1 ) |=-h-4 $
Se $ h=-4 $ $ rArr $ $ gamma $ è una parabola, se $ h<-4 $ $ rArr $ $ gamma $ è un'ellisse, se $ h> -4 $ $ rArr $ $ gamma $ è un'iperbole.
2) $ ( ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) *( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
$ omega (O):x_1+x_3=0 $
3) $ { ( 2x_1+2x_2+2=0 ),( 2x_1-x_2=0 ):} $
$ x_1=-1/3 $ , $ x_2=-2/3 $ $ rArr $ $ C-= (-1/3,-2/3,1) $
4) Per quanto trovato per $ h=0 $ la conica è un'iperbole. Per determinarne le equazioni ho provato a fare in questo modo: ricavando i punti impropri della conica ponendo $ x_3=0 $ ma facendo ciò ottengo: $ x_2(-x_2+4x_1)=0 $ quindi un punto improprio sarebbe $ (4,1,0) $ ma l'altro qual è? La terna nulla $ (0,0,0) $ non individua alcun punto nel piano proiettivo. A quel punto calcolando la tangente in tali punti si otterrebbero gli asintoti.
Grazie
A) Si consideri la conica $ gamma _h $ definita in coordinate omogenee mediante l'equazione:
$ f_h(x,x)=hx_1^2-x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+2hx_1x_3=0 $
1) classificare $ gamma _h $ al variare di $ h $ ;
2) posto $ h=1 $ si calcoli la polare all'origine $ omega (O) $ ;
3) posto $ h=2 $ si calcoli il centro;
4) posto $ h=0 $, si calcolino gli asintoti della conica.
1) $ B=( ( h , 2 , h ),( 2 , -1 , 0 ),( h , 0 , 1 ) ) $
$ detB=h^2-h-4 $
Se $ h=(1+sqrt17)/2vv (1-sqrt17)/2 $ $ rArr $ $ r(B)=2 $ $ rArr $ $ gamma $ è semplicemente degenere.
Se $ h!= (1+sqrt17)/2vv (1-sqrt17)/2 $ $ rArr $ $ r(B)=3 $ $ rArr $ $ gamma $ è non degenere.
$ detB_33=| ( h , 2 ),( 2 , -1 ) |=-h-4 $
Se $ h=-4 $ $ rArr $ $ gamma $ è una parabola, se $ h<-4 $ $ rArr $ $ gamma $ è un'ellisse, se $ h> -4 $ $ rArr $ $ gamma $ è un'iperbole.
2) $ ( ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) *( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) =( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
$ omega (O):x_1+x_3=0 $
3) $ { ( 2x_1+2x_2+2=0 ),( 2x_1-x_2=0 ):} $
$ x_1=-1/3 $ , $ x_2=-2/3 $ $ rArr $ $ C-= (-1/3,-2/3,1) $
4) Per quanto trovato per $ h=0 $ la conica è un'iperbole. Per determinarne le equazioni ho provato a fare in questo modo: ricavando i punti impropri della conica ponendo $ x_3=0 $ ma facendo ciò ottengo: $ x_2(-x_2+4x_1)=0 $ quindi un punto improprio sarebbe $ (4,1,0) $ ma l'altro qual è? La terna nulla $ (0,0,0) $ non individua alcun punto nel piano proiettivo. A quel punto calcolando la tangente in tali punti si otterrebbero gli asintoti.
Grazie
Risposte
un valore è $(1,4,0)$ in quanto $x_2=4x_1$
$(1,0,0)$ ,cioè $x_2=0$ e $x_1$ può assumere qualsiasi valore diverso da zero
"Trivroach":
ma l'altro qual è?
$(1,0,0)$ ,cioè $x_2=0$ e $x_1$ può assumere qualsiasi valore diverso da zero
Ciao, innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Avrei altre due domande da fare su richieste di esercizi simili a questo (grazie mille a chiunque risponderà)
La prima è più che altro una conferma e riguarda una richiesta che a volte trovo sull'asse di una parabola. Il mio libro non ne parla, così ho trovato spulciando un po' su internet questa formula:
$ a_11(a_11x+a_12y+a_13)+a_12(a_12x+a_22y+a_23)=0 $
La utilizzo in un esercizio che scelgo anche perchè mi serve per la domanda successiva. Data la conica: $ f_h(x,x):kx_1^2+x_2^2-x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3=0 $ nel caso in cui $ Gamma _h $ è una parabola se ne determinino gli assi. Ovviamente la prima richiesta è sulla classificazione che vi scrivo adesso direttamente:
$ B=( ( k , -1 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
Calcolato $ detB=-k $ , se $ k=0 $ $ rArr r(B)=2rArr Gamma _h $ è semplicemente degenere. Se $ k!= 0 $ $ rArr $ $ r(B)=3rArr Gamma _h $ è non degenere.
$ detB_3,_3=k-1 $ Se $ k=1 $ è una parabola, se $ k>1 $ è un'ellisse $ k<1 $ è un'iperbole.
Trovo che l'asse è $ 2x-2y+1=0 $ (non so perchè in questo esercizio dica determinare "gli assi" e non l'asse, in altre dice solo l'asse... e quanto ne so la parabola ha un solo asse se non mi sono rincretinito.)
Ma ora veniamo all'altra richiesta (che in realtà è la seconda di questo esercizio) la quale non so svolgere. Mi chiede nel caso degenere di determinare il punto doppio. La conica è degenere per $ k=0 $ quindi la sua equazione in coordinate omogenee diventa:
$ f_h(x,x):x_2^2-x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3=0 $
A questo punto dovrei trovare le due rette distinte da cui è formata la conica e metterle al sistema. Il loro punto di intersezione sarà il punto doppio cercato. Ma io non riesco a scomporre tale polinomio... da alcune parti ho letto che si può porre $ x_3=0 $ ma non so se il punto di intersezione delle due rette è proprio (nel caso di rette incidenti) o improprio (nel caso di rette parallele)...
Grazie mille ancora!
La prima è più che altro una conferma e riguarda una richiesta che a volte trovo sull'asse di una parabola. Il mio libro non ne parla, così ho trovato spulciando un po' su internet questa formula:
$ a_11(a_11x+a_12y+a_13)+a_12(a_12x+a_22y+a_23)=0 $
La utilizzo in un esercizio che scelgo anche perchè mi serve per la domanda successiva. Data la conica: $ f_h(x,x):kx_1^2+x_2^2-x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3=0 $ nel caso in cui $ Gamma _h $ è una parabola se ne determinino gli assi. Ovviamente la prima richiesta è sulla classificazione che vi scrivo adesso direttamente:
$ B=( ( k , -1 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , -1 ) ) $
Calcolato $ detB=-k $ , se $ k=0 $ $ rArr r(B)=2rArr Gamma _h $ è semplicemente degenere. Se $ k!= 0 $ $ rArr $ $ r(B)=3rArr Gamma _h $ è non degenere.
$ detB_3,_3=k-1 $ Se $ k=1 $ è una parabola, se $ k>1 $ è un'ellisse $ k<1 $ è un'iperbole.
Trovo che l'asse è $ 2x-2y+1=0 $ (non so perchè in questo esercizio dica determinare "gli assi" e non l'asse, in altre dice solo l'asse... e quanto ne so la parabola ha un solo asse se non mi sono rincretinito.)
Ma ora veniamo all'altra richiesta (che in realtà è la seconda di questo esercizio) la quale non so svolgere. Mi chiede nel caso degenere di determinare il punto doppio. La conica è degenere per $ k=0 $ quindi la sua equazione in coordinate omogenee diventa:
$ f_h(x,x):x_2^2-x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3=0 $
A questo punto dovrei trovare le due rette distinte da cui è formata la conica e metterle al sistema. Il loro punto di intersezione sarà il punto doppio cercato. Ma io non riesco a scomporre tale polinomio... da alcune parti ho letto che si può porre $ x_3=0 $ ma non so se il punto di intersezione delle due rette è proprio (nel caso di rette incidenti) o improprio (nel caso di rette parallele)...
Grazie mille ancora!
Riguardando meglio quel polinomio ho trovato che si può scomporre come:
$ x_2^2-x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3=(-x_2+2x_1-x_3)*(-x_2+x_3) $
Le due rette in cui si spezza la conica degenere non sono parallele. Il loro punto di intersezione è proprio, quindi con $ x_3=1 $ posso risolvere agevolmente il sistema:
$ { ( -x_2+2x_1-1=0 ),( -x_2+1=0 ):} $
da cui x $ x_1=1 $ e $ x_2=1 $ . Il punto doppio è $ P-= (1,1,1) $ .
È corretto come procedimento?
$ x_2^2-x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3=(-x_2+2x_1-x_3)*(-x_2+x_3) $
Le due rette in cui si spezza la conica degenere non sono parallele. Il loro punto di intersezione è proprio, quindi con $ x_3=1 $ posso risolvere agevolmente il sistema:
$ { ( -x_2+2x_1-1=0 ),( -x_2+1=0 ):} $
da cui x $ x_1=1 $ e $ x_2=1 $ . Il punto doppio è $ P-= (1,1,1) $ .
È corretto come procedimento?
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